Npc51 E 数列 [构造题, 二分答案]

$数列$

题目描述见链接 .

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$color{red}{正解部分}$

首先考虑怎么划分序列,
可以想到: 最优划分方法 会将 序列 分为连续的几段 上升序列 .

若存在下降序列, 可以将其倒置, 答案会更优 .

设划分了 $cnt$ 段 上升序列, 则 显然 $ans = N-cnt$,

现在要使得 $ans$ 尽可能大, 就要使得 $cnt$ 尽量小,

考虑 $cnt$ 受什么限制, 受 $M$ 的大小限制,
$具体来说$: 设每个 上升序列 的长度为 $x_i$, 则受到的限制为 $sum = sum frac{(1+x_i)x_i}{2} le M$ .

此时可以想到, 若 $cnt$ 可以合法地构造, 那么 $cnt+1$ 也一定可以合法地构造, 换句话说, $cnt$ 具有单调性 .

将 $cnt$ 段 上升序列 中的一段上升序列分割为两个, $sum$ 只会更小, 所以不会不合法 .

于是 二分答案, 二分 $cnt$, 考虑如何 $check()$,

$sum$ 最小值大于 $M$ 时, 说明 $cnt$ 一定不合法, 依此进行判断,

考虑 $cnt$ 固定的时候, $sum$ 什么时候最小, 显然当每个 $x_i$ 都尽可能均匀时, $sum$ 最小 .

设最大的 $x_i$ 为 $x_{max}$, 最小的 $x_i$ 为 $x_{min}$, 则当把 $x_{max}$长度 减 $1$, 把 $x_{min}$ 长度 加 $1$,
$sum$ 的变化值为 $-x_{max} + (x_{min}+1)$, 其中 $x_{min}+1 le x_{max}$, 所以这么操作 $sum$ 不会更大 .

于是对每个 $x_i$ 赋初值 $frac{N}{cnt}$, 剩下 $N \% i$ 均匀散布到前面 $cnt$ 个长度为 $frac{N}{cnt}$ 个 $x_i$ 中,
得到 $x_i$, 计算 $sum$, 判断是否小于等于 $M$ 即可 .

时间复杂度 $O(log n + n)$

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$color{red}{实现部分}$

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register
typedef long long ll;

const int maxn = 1e5 + 5;

int N;
int M;
int min_cnt;

bool chk(int cnt){
        int x_1 = N/cnt, x_2 = N/cnt + 1;
        int num_1 = cnt - N%cnt, num_2 = N%cnt;
        ll s = (1ll+x_1)*x_1/2*num_1 + (1ll+x_2)*x_2/2*num_2;
        return s <= 1ll*M;
}

int main(){
        scanf("%d%d", &N, &M);
        int l = 1, r = N; min_cnt = N;
        while(l <= r){
                int mid = l+r >> 1;
                if(chk(mid)) min_cnt = std::min(mid, min_cnt), r = mid - 1;
                else l = mid + 1;
        }
        int x_1 = N/min_cnt, x_2 = N/min_cnt + 1;
        int num_1 = min_cnt - N%min_cnt, num_2 = N%min_cnt;
        for(reg int i = 1; i <= num_1; i ++)
                for(reg int j = 1; j <= x_1; j ++) printf("%d ", j);
        for(reg int i = 1; i <= num_2; i ++)
                for(reg int j = 1; j <= x_2; j ++) printf("%d ", j);
        return 0;
}