圣战 [奇环, 树上差分]

$圣战$

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$color{red}{正解部分}$

若 $x$ 与 $y$ 之间有敌对关系, 则在 $x$ 和 $y$ 之间连一条边, 依此建出一个图,

当图中存在 奇环 时, 无法完成二染色, 说明无法划分为 $2$ 个合法的阵营,

现在目的就是删去其中一条边, 使得图中不存在 奇环, 自然而然的, 删去的边是所有 奇环 的 交,
所以现在需要求出哪些边是 所有奇环 的 交 .

$于是有个最初的做法$:
利用 返祖边 配合 树上差分 找出图中的每个点被 奇环 覆盖的次数,
若两个相连的点都被所有奇环覆盖, 说明这两个点之间的边被所有奇环覆盖, 删去这条边 .

$但是这样仍然有bug$:
当删去某条边时, 若这条边在 偶环 与 奇环 的 交 中, 则删边后关于这条边的 奇环 变 偶环, 偶环 变 奇环,
而新的 奇环 和 新的 偶环 组合会形成新的 奇环, 这就不合法了 .

$所以$:
当一条边被所有 奇环 覆盖, 且不被任何一个 偶环 覆盖时, 该边删去后 存在合法的方案 将图分为两个不同的阵营 .

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$color{red}{实现部分}$

• 当只存在一个 奇环 时, 返祖边 也可以作为计入答案, 否则 返祖边 不可能计入答案 .

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register

int read(){
        char c;
        int s = 0, flag = 1;
        while((c=getchar()) && !isdigit(c))
                if(c == '-'){ flag = -1, c = getchar(); break ; }
        while(isdigit(c)) s = s*10 + c-'0', c = getchar();
        return s * flag;
}

const int maxn = 1e6 + 10;

int N;
int M;
int cnt;
int num0;
int Tmp_1;
int Fa[maxn];
int dep[maxn];
int head[maxn];
int Cf[maxn][2];
int Fa_edge[maxn];

bool vis[maxn];

struct Edge{ int nxt, to, w; } edge[maxn << 1];

void Add(int from, int to, int w){
        edge[++ num0] = (Edge){ head[from], to, w };
        head[from] = num0;
}

void DFS(int k, int fa){
        vis[k] = 1, dep[k] = dep[fa] + 1, Fa[k] = fa;
        for(reg int i = head[k]; i; i = edge[i].nxt){
                int to = edge[i].to;
                if(to == fa || vis[to]) continue ;
                Fa_edge[to] = edge[i].w; DFS(to, k);
        }
}

void DFS_2(int k, int fa){
        for(reg int i = head[k]; i; i = edge[i].nxt){
                int to = edge[i].to;
                if(to == fa) continue ;
                if(Fa[to] == k) DFS_2(to, k);
                else if(dep[to] < dep[k] && (dep[to]-dep[k] & 1)) Cf[k][1] ++, Cf[to][1] --;
                else if(dep[to] < dep[k]) cnt ++, Cf[k][0] ++, Cf[to][0] --, Tmp_1 = edge[i].w;
        }
}

void DFS_3(int k, int fa){
        for(reg int i = head[k]; i; i = edge[i].nxt){
                int to = edge[i].to;
                if(to == fa || Fa[to] != k) continue ;
                DFS_3(to, k); Cf[k][0] += Cf[to][0], Cf[k][1] += Cf[to][1];
        }
}

int main(){
        N = read(), M = read();
        for(reg int i = 1; i <= M; i ++){
                int u = read(), v = read();
                Add(u, v, i), Add(v, u, i);
        }
        for(reg int i = 1; i <= N; i ++) if(!vis[i]) DFS(i, 0);
        for(reg int i = 1; i <= N; i ++)
                if(!Fa[i]) DFS_2(i, 0), DFS_3(i, 0);

        int Ans_1 = 0, Ans_2 = 0;

        if(!cnt){
                Ans_1 = M;
                for(reg int i = 1; i <= M; i ++) Ans_2 ^= i; 
                printf("%d
%d
", Ans_1, Ans_2);
                return 0;
        }
        
        if(cnt == 1) Ans_1 = 1, Ans_2 = Tmp_1;

        for(reg int i = 1; i <= N; i ++) 
                if(Cf[i][0]==cnt && !Cf[i][1]) Ans_1 ++, Ans_2 ^= Fa_edge[i];

        printf("%d
%d
", Ans_1, Ans_2);
        return 0;
}