POJ2865 Birthday toy[Polay+矩阵快速幂优化dp]

$Birthday toy$

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$mathcal{Description}$
有一个$n$个珠子的环，中心还有一颗珠子，用$k$种颜色来染。要求相邻珠子的颜色不同，中心珠子的颜色不能和外围任意一颗珠子的颜色一样，考虑旋转，问本质不同的珠子个数？

做这道题之前推荐先看一下这道题

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$最初想法$
中间的珠子颜色提前分配就好, $color{red}{以下颜色数量 M 均经过减一操作.}$
对于置换 $"旋转k次"$, 方案数量为 $M*(M-1)*...*(M-2)$, 按这个方法计算就可以了 .

错因是到 $i-1$ 时, 在前面计算出来的方案数中既包含 $i-2$ 与 $1$ 相同的方案数, 也包含不同的方案数,
于是当前 $i-1$ 的选择并不是 $M-2$ 种 .

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$正解部分$
设 $F[i]$ 表示 $i$ 个元素成环时的方案数量,
假设已经知道了 $F[i-1],F[i-2]$, 考虑推出 $F[i]$,

1. 由于 $F[i-1]$表示在 $i-1$ 与 $1$ 的颜色不同的前提下 $i-1$ 的方案,
   此时的 $i$ 有 $M-2$ 种选择,
   $herefore i-1$ 与 $i$ 颜色不同时, $F[i] += F[i-1]*(M-2)$

2. 那么 $i-1$ 与 $i$ 颜色相同的方案数量呢 ?
   
   由于 $i-1$ 与 $1$ 的颜色相同, $F[i-2]$ 又表示 $i-2$ 与 $1$ 颜色不同的方案数量, 间接也表示了 $i-2$ 与 $i-1$ 的颜色也不同, 将 $i-1$ 插入$i-2$ 后面, 满足了邻位不同, 且$i$与$i-1$相同的条件,
   
   此时 $i$ 有 $M-1$ 种选择
   $herefore i-1$ 与 $i$ 颜色相同时, $F[i] += F[i-2]*(M-1)$ .

$herefore 综上所述 F[i]=(M-2)*F[i-1]+(M-1)*F[i-2]$

有点像斐波那契数列是吧?
于是可以使用 矩阵快速幂 优化.

最后枚举约数, 用$Polya$求解即可, 具体点击这里查看拓展2 .

时间复杂度 $O(sqrt{N}logN)$ .

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$实现部分$
没什么好说的 , 给出代码供参考.

#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define reg register

const int mod = 1000000007;

int N;
int M;
int Tmp_2;
int Tmp_3;
//{{{
struct Matrix{
        int C[4][4];
        Matrix(){ memset(C, 0, sizeof C); }
} A, B, C;

Matrix Modify(Matrix a, Matrix b){
        Matrix s;
        for(reg int i = 1; i <= 2; i ++)
                for(reg int j = 1; j <= 2; j ++){ 
                        int &t = s.C[i][j];
                        for(reg int k = 1; k <= 2; k ++)
                                t = (t+(1ll*a.C[i][k]%mod)*(b.C[k][j]%mod)%mod) % mod;
                }
        return s;
}

Matrix KSM(Matrix a, int b){
        Matrix s;
        for(reg int i = 1; i <= 2; i ++) s.C[i][i] = 1;
        while(b){
                if(b & 1) s = Modify(s, a);
                a = Modify(a, a);
                b >>= 1;
        }
        return s;
}

int KSM_1(int a, int b){
        a %= mod;
        int s = 1;
        while(b){
                if(b & 1) s = 1ll*s*a % mod;
                a = 1ll*a*a % mod;
                b >>= 1;
        }
        return s;
}

int phi(int x){
        int s = x;
        for(reg int i = 2; i*i <= x; i ++){
                if(x % i) continue ;
                s = s/i*(i-1);
                while(x%i == 0) x /= i;
        }
        if(x > 1) s = s/x*(x-1);
        return s%mod;
}
//}}}
void Calc(int &Ans, int d){
        if(d == 2){
                Ans = ((1ll*phi(N/d)*Tmp_2)%mod + 1ll*Ans) % mod;
                return ;
        }
        else if(d == 3){
                Ans = ((1ll*phi(N/d)*Tmp_3)%mod + 1ll*Ans) % mod;
                return ;
        }
        B = KSM(A, d-3);
        int t = (1ll*B.C[1][1]*Tmp_3%mod + 1ll*B.C[2][1]*Tmp_2%mod) % mod;
        int tmp = (1ll*t*phi(N/d)) % mod;
        Ans = (1ll*Ans + tmp) % mod;
}

void Work(){
        M --;
        A.C[1][1] = M-2, A.C[1][2] = 1;
        A.C[2][1] = M-1, A.C[2][2] = 0;
        Tmp_2 = 1ll*(M%mod) * (M-1) % mod;
        Tmp_3 = 1ll*M%mod * (1ll*M-1)%mod;
        Tmp_3 = 1ll*Tmp_3 * (M-2) % mod;
        int Ans = 0;
        for(reg int d = 1; d*d <= N; d ++){
                if(N % d) continue ;
                if(d != 1) Calc(Ans, d);
                int d1 = N/d;
                if(d1 == d) continue ;
                Calc(Ans, d1);
        }
        int tmp = (M+1) % mod;
        Ans = 1ll*Ans*tmp % mod;
        Ans = 1ll*Ans*KSM_1(N, mod-2)%mod;
        printf("%d
", Ans);
}

int main(){
        while(~scanf("%d%d", &N, &M)) Work();
        return 0;
}