P4550 收集邮票 [期望dp]

P4550收集邮票

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题目描述

有n种不同的邮票，皮皮想收集所有种类的邮票。唯一的收集方法是到同学凡凡那里购买，每次只能买一张，并且买到的邮票究竟是n种邮票中的哪一种是等概率的，概率均为1/n。但是由于凡凡也很喜欢邮票，所以皮皮购买第k张邮票需要支付k元钱。
现在皮皮手中没有邮票，皮皮想知道自己得到所有种类的邮票需要花费的钱数目的期望。
N <= 10000

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Solution

设$F[i]$表示当前持有$i$种邮票, 还需要买$F[i]$次得到N种邮票 则
$F[i] = frac{i}{N} ( F[i] + 1 ) + frac{N-i}{N}( F[i+1] + 1 )$
化简得
$F[i] = F[i+1] + frac{N}{N-i}$

考虑使用当前的结果对后面增加的花费列方程, 得到下式.

设$G[i]$表示当前持有$i$种邮票, 还需要买$G[i]$块钱得到N种邮票则
$G[i] = frac{i}{N}(G[i]+F[i]+1) + frac{N-i}{N}(G[i+1]+F[i+1]+1)$
化简得
$G[i]=frac{i}{N-i}F[i] +G[i+1]+F[i+1]+ frac{N}{N-i}$

注: 还有类似上方, 站在整体角度, 考虑当前结果对后方影响列方程的题目, 这里 .

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Code

#include<bits/stdc++.h>

double F[10005], G[10005];

int main(){
        int N;
        scanf("%d", &N);
        F[N] = 0, G[N] = 0;
        for(int i = N-1; i >= 0; i --) F[i] = N*1.0/(N*1.0-i) + F[i+1];
        for(int i = N-1; i >= 0; i --) G[i] = i*1.0/(N*1.0-i)*F[i] + G[i+1] + F[i+1] + N*1.0/(N*1.0-i);
        printf("%.2lf
", G[0]);
        return 0;
}

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