关于Dinic算法的几点讨论

基本概念

Dinic算法是经典的网络最大流算法，该算法由在EK算法的基础上增加"分层"这一概念得到。算法复杂度为，求解二分图最大匹配的时间复杂度为

算法过程

分层操作：

• 进行一次BFS。在BFS的过程中不断对未访问过的结点进行分层。
• 在分层的过程中，使用一个队列保存需要进行分层的点集，并用一个d[N]数组保存每个结点所在的层数。

算法主体（Dinic）：

• 在算法的主体过程中，我们只从层数编号较小的点到下一层的点。（可以证明，如果向层数较小的点"流"是无效的）
• 而Dinic算法的实质，是在DFS的过程中记录能流的最大流量。

最终，我们在不断分层和由源点进行Dinic算法的过程中获得了整体的最大流。

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模板地址：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3376

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#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;
const int MAXN=1000010,MAXM=1000010;
struct Edge{
    int from,to,w,nxt;
}e[MAXM];
int head[MAXN];
int edgeCnt=1;//反向边，所以边计数从1开始 
void addEdge(int u,int v,int w){
    e[++edgeCnt].from=u;
    e[edgeCnt].to=v;
    e[edgeCnt].w=w;
    e[edgeCnt].nxt=head[u];
    head[u]=edgeCnt;
}
int s,t;
int d[MAXN];//层数 
bool bfs(){
    queue<int> q;
    memset(d,0,sizeof(d));
    q.push(s);d[s]=1;
    while(!q.empty()){
        int nowNode=q.front();q.pop();
        for(int i=head[nowNode];i;i=e[i].nxt){
            int v=e[i].to;
            if(!d[v]&&e[i].w){
                q.push(v);
                d[v]=d[nowNode]+1;
            }
        }
    }
    return d[t]!=0;
}
int Dinic(int x,int flow){
    if(x==t)return flow;
    int rest=flow;
    for(int i=head[x];i&&rest;i=e[i].nxt){
        int v=e[i].to;
        if(d[v]==d[x]+1&&e[i].w!=0){
            int k=Dinic(v,min(rest,e[i].w));
            if(!k)d[v]=0;
            e[i].w-=k,e[i^1].w+=k;
            rest-=k; 
        }
    }
    return flow-rest;
}
int INF=1<<30;
int main(){
    int n,m;
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u,v,w;
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        addEdge(u,v,w);
        addEdge(v,u,0);
    }
    int nowFlow,ans=0;
    while(bfs())
        while(nowFlow=Dinic(s,INF))
            ans+=nowFlow;
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}