noip2012 开车旅行

P1081 开车旅行

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• 题目提供者洛谷OnlineJudge
• 标签倍增2012NOIp提高组
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题目描述

小 A 和小 B 决定利用假期外出旅行，他们将想去的城市从 1 到 N 编号，且编号较小的

城市在编号较大的城市的西边，已知各个城市的海拔高度互不相同，记城市 i 的海拔高度为

Hi，城市 i 和城市 j 之间的距离 d[i,j]恰好是这两个城市海拔高度之差的绝对值，即

d[i,j] = |Hi− Hj|。

旅行过程中，小 A 和小 B 轮流开车，第一天小 A 开车，之后每天轮换一次。他们计划

选择一个城市 S 作为起点，一直向东行驶，并且最多行驶 X 公里就结束旅行。小 A 和小 B

的驾驶风格不同，小 B 总是沿着前进方向选择一个最近的城市作为目的地，而小 A 总是沿

着前进方向选择第二近的城市作为目的地（注意：本题中如果当前城市到两个城市的距离

相同，则认为离海拔低的那个城市更近）。如果其中任何一人无法按照自己的原则选择目的

城市，或者到达目的地会使行驶的总距离超出 X 公里，他们就会结束旅行。

在启程之前，小 A 想知道两个问题：

1．对于一个给定的 X=X0，从哪一个城市出发，小 A 开车行驶的路程总数与小 B 行驶

的路程总数的比值最小（如果小 B 的行驶路程为 0，此时的比值可视为无穷大，且两个无穷大视为相等）。如果从多个城市出发，小 A 开车行驶的路程总数与小 B 行驶的路程总数的比

值都最小，则输出海拔最高的那个城市。

1. 对任意给定的 X=Xi和出发城市 Si，小 A 开车行驶的路程总数以及小 B 行驶的路程

总数。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含一个整数 N，表示城市的数目。

第二行有 N 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，依次表示城市 1 到城市 N 的海

拔高度，即 H1，H2，……，Hn，且每个 Hi都是不同的。

第三行包含一个整数 X0。

第四行为一个整数 M，表示给定 M 组 Si和 Xi。

接下来的 M 行，每行包含 2 个整数 Si和 Xi，表示从城市 Si出发，最多行驶 Xi公里。

输出格式：

输出共 M+1 行。

第一行包含一个整数 S0，表示对于给定的 X0，从编号为 S0的城市出发，小 A 开车行驶

的路程总数与小 B 行驶的路程总数的比值最小。

接下来的 M 行，每行包含 2 个整数，之间用一个空格隔开，依次表示在给定的 Si和

Xi下小 A 行驶的里程总数和小 B 行驶的里程总数。

输入输出样例

输入样例#1：

drive1
4 
2 3 1 4 
3 
4 
1 3 
2 3 
3 3 
4 3


drive2
 10 
4 5 6 1 2 3 7 8 9 10 
7 
10 
1 7 
2 7 
3 7 
4 7 
5 7 
6 7 
7 7 
8 7 
9 7 
10 7

输出样例#1：

drive1
1 
1 1 
2 0 
0 0 
0 0 

drive2
2 
3 2 
2 4 
2 1 
2 4 
5 1 
5 1 
2 1 
2 0 
0 0 
0 0

说明

【输入输出样例 1 说明】

各个城市的海拔高度以及两个城市间的距离如上图所示。

如果从城市 1 出发，可以到达的城市为 2,3,4，这几个城市与城市 1 的距离分别为 1,1,2，

但是由于城市 3 的海拔高度低于城市 2，所以我们认为城市 3 离城市 1 最近，城市 2 离城市

1 第二近，所以小 A 会走到城市 2。到达城市 2 后，前面可以到达的城市为 3,4，这两个城

市与城市 2 的距离分别为 2,1，所以城市 4 离城市 2 最近，因此小 B 会走到城市 4。到达城

市 4 后，前面已没有可到达的城市，所以旅行结束。

如果从城市 2 出发，可以到达的城市为 3,4，这两个城市与城市 2 的距离分别为 2,1，由

于城市 3 离城市 2 第二近，所以小 A 会走到城市 3。到达城市 3 后，前面尚未旅行的城市为

4，所以城市 4 离城市 3 最近，但是如果要到达城市 4，则总路程为 2+3=5>3，所以小 B 会

直接在城市 3 结束旅行。

如果从城市 3 出发，可以到达的城市为 4，由于没有离城市 3 第二近的城市，因此旅行

还未开始就结束了。

如果从城市 4 出发，没有可以到达的城市，因此旅行还未开始就结束了。

【输入输出样例 2 说明】

当 X=7 时，

如果从城市 1 出发，则路线为 1 -> 2 -> 3 -> 8 -> 9，小 A 走的距离为 1+2=3，小 B 走的

距离为 1+1=2。（在城市 1 时，距离小 A 最近的城市是 2 和 6，但是城市 2 的海拔更高，视

为与城市 1 第二近的城市，所以小 A 最终选择城市 2；走到 9 后，小 A 只有城市 10 可以走，

没有第 2 选择可以选，所以没法做出选择，结束旅行）

如果从城市 2 出发，则路线为 2 -> 6 -> 7 ，小 A 和小 B 走的距离分别为 2，4。

如果从城市 3 出发，则路线为 3 -> 8 -> 9，小 A 和小 B 走的距离分别为 2，1。

如果从城市 4 出发，则路线为 4 -> 6 -> 7，小 A 和小 B 走的距离分别为 2，4。

如果从城市 5 出发，则路线为 5 -> 7 -> 8 ，小 A 和小 B 走的距离分别为 5，1。

如果从城市 6 出发，则路线为 6 -> 8 -> 9，小 A 和小 B 走的距离分别为 5，1。

如果从城市 7 出发，则路线为 7 -> 9 -> 10，小 A 和小 B 走的距离分别为 2，1。

如果从城市 8 出发，则路线为 8 -> 10，小 A 和小 B 走的距离分别为 2，0。

全国信息学奥林匹克联赛（NOIP2012）复赛

提高组 day1

第 7 页 共 7 页

如果从城市 9 出发，则路线为 9，小 A 和小 B 走的距离分别为 0，0（旅行一开始就结

束了）。

如果从城市 10 出发，则路线为 10，小 A 和小 B 走的距离分别为 0，0。

从城市 2 或者城市 4 出发小 A 行驶的路程总数与小 B 行驶的路程总数的比值都最小，

但是城市 2 的海拔更高，所以输出第一行为 2。

【数据范围】

对于 30%的数据，有 1≤N≤20，1≤M≤20；

对于 40%的数据，有 1≤N≤100，1≤M≤100；

对于 50%的数据，有 1≤N≤100，1≤M≤1,000；

对于 70%的数据，有 1≤N≤1,000，1≤M≤10,000；

对于100%的数据，有1≤N≤100,000，1≤M≤10,000，-1,000,000,000≤Hi≤1,000,000,000，

0≤X0≤1,000,000,000，1≤Si≤N，0≤Xi≤1,000,000,000，数据保证 Hi互不相同。

NOIP 2012 提高组 第一天 第三题

分析：这道题不会做，看别人题解看了一下午，算是有一点心得吧，分享一下，首先看数据，似乎可以暴力个部分分，每次选取一个点就开始模拟行走.每次都要寻找第一近和第二近，非常浪费时间，那么就预处理，怎么预处理呢?排序吗？有点复杂，离得最近的一定是高度差相近的，那么能排序并且在相近的元素中寻找的数据结构是什么呢？STL的set！每次找两个前驱和后继，然后排序取前两个.不过要注意，插入set要倒着插，因为每次都是去东边的城市.但是这样预处理之后还是不能通过所有的数据,我们来对算法仔细的分析，查找第一近和第二近的优化过了，枚举点似乎不能优化，那么只能优化模拟行走了.会发现两次行走可以合并成一次，有没有什么更快的枚举技巧呢？二分？似乎不行.那么就是倍增了.设f[i][j]为在位置i走2^j轮的位置，一轮就是A走和B走一次,fa[i][j]就是A在位置i走2^j轮的距离，fb[i][j]类同，那么怎么算呢？记住一个重要的性质：a^i-1 + a^i-1 = a^i,递推也可以这样,f[i][j] = f[f[i][j-1]][j-1],fa[i][j] = fa[i][j-1] + fa[f[i][j-1]][j-1],fb类同，因为n<=100000,所以2^i,i从19开始枚举，从大到小枚举，依次判断行不行即可.(真是复杂......)

      对枚举一个常见的优化：倍增.

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <set>

using namespace std;

const int maxn = 100005;
int n, x0, m, k,x1, na[maxn], nb[maxn],ans;
long long ansa = 1e5,ansb = 0ll,fa[maxn][20], fb[maxn][20], f[maxn][20];


struct node
{
    int id, high;
    bool operator < (const node & b) const {
        return high < b.high;
    }
}c[maxn];

struct node2
{
    int id, gaoducha;
    bool operator < (const node2 & b) const {
        if (gaoducha != b.gaoducha)
            return gaoducha < b.gaoducha;
        else
            return c[id].high < c[b.id].high;
    }
}temp[5];

set <node> s;

void init(int i)
{
    set <node> ::iterator it = s.find(c[i]);
    int j = 0;
    if (it != s.begin())
    {
        --it;
        temp[++j] = (node2) { it->id, abs(it->high - c[i].high) };
        if (it != s.begin())
        {
            --it;
            temp[++j] = (node2) { it->id, abs(it->high - c[i].high) };
            ++it;
        }
        ++it;
    }
    if ((++it) != s.end())//s.end()是结尾之后的!
    {
        temp[++j] = (node2) { it->id, abs(it->high - c[i].high) };
        if ((++it) != s.end())
            temp[++j] = (node2) { it->id, abs(it->high - c[i].high) };
    }
    sort(temp + 1, temp + j + 1);
    nb[i] = temp[1].id;
    if (j == 1)
        return;
    na[i] = temp[2].id;
    return;
}

void query(int st, int x, long long &ta, long long &tb)
{
    for (int i = 19; i >= 0; i--)
        if (f[st][i] && fa[st][i] + fb[st][i] <= x)
        {
            ta += fa[st][i];
            tb += fb[st][i];
            x -= fa[st][i] + fb[st][i];
            st = f[st][i];
        }
    if (!na[st])
        return;
    int tempans = abs(c[na[st]].high - c[st].high);
    if (tempans <= x)
        ta += tempans;
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%d", &c[i].high);
        c[i].id = i;
    }
    for (int i = n; i;i--)
    {
        s.insert(c[i]);
        if (i != n)
            init(i);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int p1 = na[i], p2 = nb[na[i]];
        fa[i][0] = p1 ? abs(c[p1].high - c[i].high) : 0;
        fb[i][0] = p2 ? abs(c[p2].high - c[p1].high) : 0;
        f[i][0] = p2;
    }
    for (int j = 1; j < 20;j++) //后更新的是j所以先枚举j
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            f[i][j] = f[f[i][j - 1]][j - 1];
            fa[i][j] = fa[i][j - 1] + fa[f[i][j - 1]][j - 1];
            fb[i][j] = fb[i][j - 1] + fb[f[i][j - 1]][j - 1];
        }
    scanf("%d", &x0);
    ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        long long ta = 0ll, tb = 0ll;
        query(i, x0, ta, tb);
        if (tb && (!ans || ansa * tb > ansb * ta))
        {
            ansa = ta;
            ansb = tb;
            ans = i;
        }
    }
    printf("%d
", ans);
    scanf("%d", &m);
    while (m--)
    {
        scanf("%d%d", &k, &x1);
        long long ta = 0ll, tb = 0ll;
        query(k, x1, ta, tb);
        printf("%d %d
", ta, tb);
    }

    return 0;
}

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