bzoj3191: [JLOI2013]卡牌游戏

3191: [JLOI2013]卡牌游戏

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Description

N个人坐成一圈玩游戏。一开始我们把所有玩家按顺时针从1到N编号。首先第一回合是玩家1作为庄家。每个回合庄家都会随机（即按相等的概率）从卡牌堆里选择一张卡片，假设卡片上的数字为X，则庄家首先把卡片上的数字向所有玩家展示，然后按顺时针从庄家位置数第X个人将被处决即退出游戏。然后卡片将会被放回卡牌堆里并重新洗牌。被处决的人按顺时针的下一个人将会作为下一轮的庄家。那么经过N-1轮后最后只会剩下一个人，即为本次游戏的胜者。现在你预先知道了总共有M张卡片，也知道每张卡片上的数字。现在你需要确定每个玩家胜出的概率。

这里有一个简单的例子：

例如一共有4个玩家，有四张卡片分别写着3,4,5,6.

第一回合，庄家是玩家1，假设他选择了一张写着数字5的卡片。那么按顺时针数1,2,3,4,1，最后玩家1被踢出游戏。

第二回合，庄家就是玩家1的下一个人，即玩家2.假设玩家2这次选择了一张数字6，那么2,3,4,2,3,4，玩家4被踢出游戏。

第三回合，玩家2再一次成为庄家。如果这一次玩家2再次选了6，则玩家3被踢出游戏，最后的胜者就是玩家2.

Input

第一行包括两个整数N,M分别表示玩家个数和卡牌总数。

接下来一行是包含M个整数，分别给出每张卡片上写的数字。

Output

输出一行包含N个百分比形式给出的实数，四舍五入到两位小数。分别给出从玩家1到玩家N的胜出概率，每个概率之间用空格隔开，最后不要有空格。

Sample Input

5 5
2 3 5 7 11

Sample Output

22.72% 17.12% 15.36% 25.44% 19.36%

输入样例2：
4 4
3 4 5 6

HINT

对于100%的数据，有1<=N<=50 1<=M<=50 1<=每张卡片上的数字<=50

分析：对于一个点i，赢得概率i原本累加的概率+j的概率除以卡牌总数,如果从j用卡片k正好到i，因为概率p等于取到p的可能/所有的可能.这样描述确实太抽象了.可以发现这道题是约瑟夫环的变形：

约瑟夫环（约瑟夫问题）是一个数学的应用问题：已知n个人（以编号1，2，3...n分别表示）围坐在一张圆桌周围。从编号为k的人开始报数，数到m的那个人出列；他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列；依此规律重复下去，直到圆桌周围的人全部出列。通常解决这类问题时我们把编号从0~n-1，最后[1] 结果+1即为原问题的解。 ----摘自百度百科

对于本题的数据而言，搜索是不大可能，那么就dp,可以发现结果和进行游戏的人数、谁坐庄（赢者）和选取的卡牌有关，而选取的卡牌我们可以通过枚举得到，所以状态就可以用二维表示，即f[i][j]表示有i个人在进行游戏，赢得人是j的概率.那么很明显f[i][j] = f[i][j] + f[i - 1][i - temp + j] / m;temp为在i个人进行游戏的情况下走的步数(mod i),当然这是在temp > j的情况下,如果temp < j呢？f[i][j] = f[i][j] + f[i - 1][j - temp] / m;一一枚举即可.

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int maxn = 55;

int n, m,a[maxn];
double f[maxn][maxn];

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= m; i++)
        scanf("%d", &a[i]);
    memset(f, 0, sizeof(f));
    f[1][1] = 1.0;
    for (int i = 2; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            for (int k = 1; k <= m; k++)
            {
                int temp = a[k] % i;
                if (temp == 0)
                    temp = i;
                if (temp > j)
                    f[i][j] = f[i][j] + f[i - 1][i - temp + j] / m;
                if (temp < j)
                    f[i][j] = f[i][j] + f[i - 1][j - temp] / m;
            }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        printf("%.2lf%%", f[n][i] * 100);  //为了输出后面的%
        if (i != n)
            printf(" ");
    }

    return 0;
}