洛谷P3048 [USACO12FEB]牛的IDCow IDs

P3048 [USACO12FEB]牛的IDCow IDs

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• 题目提供者lin_toto
• 标签USACO2012
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• 谁能解释一下这个样例啊....

题目描述

Being a secret computer geek, Farmer John labels all of his cows with binary numbers. However, he is a bit superstitious, and only labels cows with binary numbers that have exactly K "1" bits (1 <= K <= 10). The leading bit of each label is always a "1" bit, of course. FJ assigns labels in increasing numeric order, starting from the smallest possible valid label -- a K-bit number consisting of all "1" bits. Unfortunately, he loses track of his labeling and needs your help: please determine the Nth label he should assign (1 <= N <= 10^7).

FJ给他的奶牛用二进制进行编号，每个编号恰好包含K 个"1" (1 <= K <= 10)，且必须是1开头。FJ按升序编号，第一个编号是由K个"1"组成。

请问第N(1 <= N <= 10^7)个编号是什么。

输入输出格式

输入格式：

• Line 1: Two space-separated integers, N and K.

输出格式：

输入输出样例

输入样例#1：

7 3 

输出样例#1：

10110 
分析：首先有一个很简单的结论：一个只有0和1的数字串，只有1对数字串大小有影响，0没有影响。很简单证明，大小取决于1的位置和数量。
      这道题有一个限制：第一位必须是0，那么我们先将这个串用足够大小保存，足够大的话我们可以添加前导0，到最后从第一个非0位输出即可，也就是说我们要找到一个m,使得C(m,k) >= n,这个可以用二分实现，我们先弄一个m位的全是0的串。然后考虑C(i-1,k)的意义，即还剩i-1位可以填k个1的方案数，也就是说我们还有C(i,k)个不同大小的数，如果C(i-1,k) < n,则说明剩下的数还不够n个，我们不能找到第n大的数，于是我们在i位填1，那么这个数就是能够出现的C(i-1,k)个数中最大的，n-=C(i-1,k),k--,如果C(i-1,k) >= n,说明后面还能找到第n大的，我们填0即可，就这样模拟一下就好了。
      不过这个组合数会非常大，还会爆long long,需要分类讨论进行二分.

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

long long n, k, f[50][20], m;
long long num[110000], cnt;

long long Combination(long long n, long long m)
{
    long long ans = 1;
    for (long long i = n; i >= (n - m + 1); --i)
        ans *= i;
    while (m)
        ans /= m--;
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld", &n, &k);
    if (k == 1)
    {
        for (int i = n; i; i--)
        {
            if (i == n)
                printf("1");
            else
                printf("0");
        }
        return 0;
    }
    else
    {
        if (k == 10)
        {
            long long l = 1, r = 600;
            while (l <= r)
            {
                long long mid = (l + r) >> 1;
                if (Combination(mid, k) >= n)
                {
                    m = mid;
                    r = mid - 1;
                }
                else
                    l = mid + 1;
            }
        }
        else
        {
            if (k >= 7)
            {
                long long l = 1, r = 1000;
                while (l <= r)
                {
                    long long mid = (l + r) >> 1;
                    if (Combination(mid, k) >= n)
                    {
                        m = mid;
                        r = mid - 1;
                    }
                    else
                        l = mid + 1;
                }
            }
        else
        {
            long long l = 1, r = 7000;
            while (l <= r)
            {
                long long mid = (l + r) >> 1;
                if (Combination(mid, k) >= n)
                {
                    m = mid;
                    r = mid - 1;
                }
                else
                    l = mid + 1;
            }
        }
        }
        for (long long i = m; i; i--)
        {
            long long t = Combination(i - 1, k);
            if (t < n)
            {
                num[i] = 1;
                n -= t;
                k--;
                if (!cnt)
                    cnt = i;
            }
            if (!k || !n)
                break;
        }
        for (long long i = cnt; i; i--)
            printf("%d", num[i]);
    }

    return 0;
}