bzoj2705 [SDOI2012]Longge的问题

2705: [SDOI2012]Longge的问题

Time Limit: 3 Sec  Memory Limit: 128 MB
Submit: 3160  Solved: 1973
[Submit][Status][Discuss]

Description

Longge的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了：给定一个整数N，你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N)。

Input

一个整数，为N。

Output

一个整数，为所求的答案。

Sample Input

6

Sample Output

15

HINT

【数据范围】

对于60%的数据，0<N<=2^16。

对于100%的数据，0<N<=2^32。

 

Source

round1 day1

分析：如果直接暴力求gcd,n^2的枚举时间加上每次求gcd的时间，直接爆掉，那么能不能用更好的方法做呢？

       我们可以换个思路，要求Σgcd(i,n),我们假设gcd(i,n) = g,也就是我们要求以g为最大公约数的(i,n)有多少对，然后g对答案的贡献就是g*个数，显然，这个g是n的约数，对于约数的枚举我们有一个技巧，就是只枚举到它的sqrt即可，和它成对的一个约数就是n/i，前提是i != sqrt(n).如果g = 1,我们可以直接用欧拉函数来统计，如果g != 1呢？那么我们可以把i,n写作i = i'*g,n = n'*g,i和n同时除以g,那么n和i就互质了，这样直接用欧拉函数就可以解决问题了.

#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

long long n,ans;

long long phi(long long x)
{
    long long res = x;
    for (long long i = 2; i <= sqrt(x); i++)
    {
        if (x % i == 0)
        {
            while (x % i == 0)
                x /= i;
            res = res / i * (i - 1);
        }
    }
    if (x > 1)
        res = res / x * (x - 1);
    return res;
}

int main()
{
    scanf("%lld", &n);
    for (long long i = 1; i <= sqrt(n); i++)
    {
        if (n % i == 0)
        {
            ans += i * phi(n / i);
            if (i * i < n)
                ans += n / i * phi(i);
        }
    }
    printf("%lld
", ans);

    return 0;
}