bzoj3675 [Apio2014]序列分割

3675: [Apio2014]序列分割

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Description

小H最近迷上了一个分隔序列的游戏。在这个游戏里，小H需要将一个长度为n的非负整数序列分割成k+1个非空的子序列。为了得到k+1个子序列，小H需要重复k次以下的步骤：

1.小H首先选择一个长度超过1的序列（一开始小H只有一个长度为n的序列——也就是一开始得到的整个序列）；

2.选择一个位置，并通过这个位置将这个序列分割成连续的两个非空的新序列。

 

每次进行上述步骤之后，小H将会得到一定的分数。这个分数为两个新序列中元素和的乘积。小H希望选择一种最佳的分割方式，使得k轮之后，小H的总得分最大。

 

Input

输入第一行包含两个整数n，k（k+1≤n）。

第二行包含n个非负整数a1，a2，...，an（0≤ai≤10^4），表示一开始小H得到的序列。

Output

输出第一行包含一个整数，为小H可以得到的最大分数。

Sample Input

7 3
4 1 3 4 0 2 3

Sample Output

108

HINT

【样例说明】 

在样例中，小H可以通过如下3轮操作得到108分： 

1．-开始小H有一个序列(4，1，3，4，0，2，3)。小H选择在第1个数之后的位置 

将序列分成两部分，并得到4×(1+3+4+0+2+3)=52分。 

2．这一轮开始时小H有两个序列：(4)，(1，3，4，0，2，3)。小H选择在第3个数 

字之后的位置将第二个序列分成两部分，并得到(1+3)×(4+0+2+ 

3)=36分。 

3．这一轮开始时小H有三个序列：(4)，(1，3)，(4，0，2，3)。小H选择在第5个 

数字之后的位置将第三个序列分成两部分，并得到(4+0)×(2+3)= 

20分。 

经过上述三轮操作，小H将会得到四个子序列：(4)，(1，3)，(4，0)，(2，3)并总共得到52+36+20=108分。 

【数据规模与评分】 

：数据满足2≤n≤100000,1≤k≤min(n -1，200)。

分析：显然是一道dp题.

　　　令f[i][j]表示前i个数分成j段获得的最大分数. f[i][j] = max{f[k][j - 1] + (sum[i] - sum[k]) * (sum[n] - sum[i])}. 这显然是可以斜率优化的. 

　　　因为k,n都很大，所以用滚动数组优化.

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;
const ll maxn = 100010;
ll n,k,a[maxn],f[maxn],g[maxn],l,r,sum[maxn],q[maxn];

ll K(ll i)
{
    return sum[i];
}

ll B(ll i)
{
    return g[i] - sum[i] * sum[n];
}

ll Y(ll i,ll j)
{
    return K(i) * sum[j] + B(i);
}

bool cmp(ll y1,ll y2,ll y3)
{
    ll temp1 = (K(y1) - K(y3)) * (B(y2) - B(y1));
    ll temp2 = (K(y1) - K(y2)) * (B(y3) - B(y1));
    return temp1 >= temp2;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    for (ll i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%lld",&a[i]);
    for (ll i = 1; i <= n; i++)
        sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
    for (ll i = 1; i <= k; i++)
    {
        l = r = 0;
        for (ll j = 1; j <= n; j++)
        {
            while (l < r && Y(q[l],j) <= Y(q[l + 1],j))
                l++;
            f[j] = Y(q[l],j) + sum[j] * sum[n] - sum[j] * sum[j];
            while (l < r && cmp(j,q[r - 1],q[r]))
                r--;
            q[++r] = j;
        }
        for (ll j = 1; j <= n; j++)
            g[j] = f[j];
    }
    ll ans = 0;
    for (ll i = 1; i < n; i++)
        ans = max(ans,g[i]);
    printf("%lld
",ans);

    return 0;
}