[USACO19DEC]Greedy Pie Eaters P（区间dp）

题目链接（luogu）

根据题目条件和数据范围不难看出这是一道区间dp。

定义子状态$dp[i][j]$代表吃区间$[i,j]$内的pie可以得到的最大价值。

如果不增加新的奶牛可以得到转移方程：$dp[i][j]=max(dp[i][j], dp[i][k]+dp[k+1][j])$。

如果要新增一个奶牛，则必定有一个k是要被吃的，可以得到转移方程：$dp[i][j]=max(dp[i][j], dp[i][k-1]+dp[k+1][j]+f[k][i][j])$。

其中$f[k][i][j]$代表满足$i le l le k le r le j$的奶牛的最大价值。

Q：为什么要求$l,r$在$i,j$内呢？

A：因为dp的无后效性，所选的牛不能影响后面，可以理解为目前的定义域只有$[i,j]$。

Q：怎么求出$f$呢？

A：同样考虑区间dp，我们发现对于每个k的f是不相干的，可以分开求。

具体来讲，$f[k][i - 1][j] = max(f[k][i - 1][j], f[k][i][j])$，$f[k][i][j + 1] = max(f[k][i][j + 1], f[k][i][j])$。

有初值：$f[k][l][r]=w[i]$，不用取max因为每个牛的$l,r$一定不同（题目要求）。

Code：

for (int k = 1; k <= n; k++) {
    for (int i = k; i >= 1; i--) {
        for (int j = k; j <= n; j++) {
            if (i != 1)
                f[k][i - 1][j] = max(f[k][i - 1][j], f[k][i][j]);
            if (j != n)
                f[k][i][j + 1] = max(f[k][i][j + 1], f[k][i][j]);
        }
    }
}

之后的转移也就非常简单了，初值$dp[i][i]=f[i][i][i]$。

Code（完整版）：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, m;
int w[10000], l[10000], r[10000];
int f[301][301][301];
int dp[310][310];
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        scanf("%d%d%d", &w[i], &l[i], &r[i]);
        for (int j = l[i]; j <= r[i]; j++) {
            f[j][l[i]][r[i]] = w[i];
        }
    }
    for (int k = 1; k <= n; k++) {
        for (int i = k; i >= 1; i--) {
            for (int j = k; j <= n; j++) {
                if (i != 1)
                    f[k][i - 1][j] = max(f[k][i - 1][j], f[k][i][j]);
                if (j != n)
                    f[k][i][j + 1] = max(f[k][i][j + 1], f[k][i][j]);
            }
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) dp[i][i] = f[i][i][i];
    for (int len = 2; len <= n; len++) {
        for (int i = 1; i + len - 1 <= n; i++) {
            int j = len + i - 1;
            for (int k = i; k < j; k++) dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k + 1][j]);
            for (int k = i; k <= j; k++) {
                int val = 0;
                if (k != i) val += dp[i][k - 1];
                if (k != j) val += dp[k + 1][j];
                val += f[k][i][j];
                dp[i][j] = max(dp[i][j], val);
            }
        }
    }
    printf("%d", dp[1][n]);
    return 0;
}