屠龙勇士「NOI2018」（扩展中国剩余定理）

这道题可谓是大毒瘤了，还要根据数据类型不同测试点不同的方法。

题目

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题目描述

小 D 最近在网上发现了一款小游戏。游戏的规则如下：

• 游戏的目标是按照编号 (1 ightarrow n) 顺序杀掉 (n) 条巨龙，每条巨龙拥有一个初始的生命值 (a_i) 。同时每条巨龙拥有恢复能力，当其使用恢复能力时，它的生命值就会每次增加 (p_i) ，直至生命值非负。只有在攻击结束后且当生命值 恰好 为 (0) 时它才会死去。
• 游戏开始时玩家拥有 (m) 把攻击力已知的剑，每次面对巨龙时，玩家只能选择一把剑，当杀死巨龙后这把剑就会消失，但作为奖励，玩家会获得全新的一把剑。

小 D 觉得这款游戏十分无聊，但最快通关的玩家可以获得 ION2018 的参赛资格，于是小 D 决定写一个笨笨的机器人帮她通关这款游戏，她写的机器人遵循以下规则：

• 每次面对巨龙时，机器人会选择当前拥有的，攻击力不高于巨龙初始生命值中攻击力最大的一把剑作为武器。如果没有这样的剑，则选择 攻击力最低 的一把剑作为武器。
• 机器人面对每条巨龙，它都会使用上一步中选择的剑攻击巨龙固定的 (x) 次，使巨龙的生命值减少 (x imes ATK) 。
• 之后，巨龙会不断使用恢复能力，每次恢复 (p_i) 生命值。若在使用恢复能力前或某一次恢复后其生命值为 (0) ，则巨龙死亡，玩家通过本关。

那么显然机器人的攻击次数是决定能否最快通关这款游戏的关键。小 D 现在得知了每条巨龙的所有属性，她想考考你，你知道应该将机器人的攻击次数 (x) 设置为多少，才能用最少的攻击次数通关游戏吗？

当然如果无论设置成多少都无法通关游戏，输出 (-1) 即可。

输入格式

第一行一个整数 (T)，代表数据组数。

接下来 (T) 组数据，每组数据包含 (5) 行。

每组数据的第一行包含两个整数，(n) 和 (m) ，代表巨龙的数量和初始剑的数量；
接下来一行包含 (n) 个正整数，第 (i) 个数表示第 (i) 条巨龙的初始生命值 (a_i)；
接下来一行包含 (n) 个正整数，第 (i) 个数表示第 (i) 条巨龙的恢复能力 (p_i)；
接下来一行包含 (n) 个正整数，第 (i) 个数表示杀死第 (i) 条巨龙后奖励的剑的攻击力；
接下来一行包含 (m) 个正整数，表示初始拥有的 (m) 把剑的攻击力。

输出格式

一共 (T) 行。

第 (i) 行一个整数，表示对于第 (i) 组数据，能够使得机器人通关游戏的最小攻击次数 (x) ，如果答案不存在，输出 (-1)。

Solution

我刚开始看这道题时以为一把剑杀不死龙还可以再换一把继续杀，于是怎么也做不出，后来看看题解发现并不是这样。

是我自己没看清楚题，题目说：“每次面对巨龙时，玩家只能选择一把剑”。

然后思路就很清晰了，先预处理出杀死每一条龙要用的剑的攻击力，设其为 (ATK)，设第 (i) 条龙的生命值为 (h_i)。

题目的要求即为(h_i equiv ATKx(mod p_i))的最小正整数 (x)。

然而我们会发现一些问题：

如果(h_i le p_i)那这么写没问题，而如果(h_i > p_i)则有可能减不到负数就满足要求了。

而我们观察数据可得这种情况（即没有特殊性质1）时都是(p=1)，所以特判一下即可。

接着直接套excrt。

Q 如何转换为中国剩余定理的标准形式：(x equiv a (mod b))

A 通过exgcd解同余方程。

设当前同余方程为(axequiv b(mod m))，要变成标准形式。

先得到通解（如果得不到则无解）：(x=x0+kfrac{m}{gcd(a,m)}, k in Z)。

两遍同时mod(frac{m}{gcd(a,m)})得(x equiv x0 (mod frac{m}{gcd(a,m)}))

然后就可以愉快地套excrt了。

需要注意的一些东西：

1. 如何求出每次用哪把剑——用一个multiset维护，每次找upperbound（注意这里剑的攻击力是可重的）。

2. 如果(p_i | ATK)，则需满足(p_i | h_i)否则方程无解。而如果满足则这个方程算是一个废的方程，丢掉即可。

附上我调了一个下午的代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 100010;
namespace IO{
	template <typename T> void read(T &x) {
		T f = 1;
		char ch = getchar();
		for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') f = -1;
		for (x = 0; isdigit(ch); ch = getchar()) x = x * 10 + ch - '0';
		x *= f;
	}
	template <typename T> void write(T x) {
		if (x > 9) write(x / 10);
		putchar(x % 10 + '0');
	}
	template <typename T> void print(T x) {
		if (x < 0) x = -x, putchar('-');
		write(x);
		putchar('
');
	}
} using namespace IO;
int T;//测试组数 
int n, m;//龙的数量、开始时剑的数量 
ll h[N], p[N], a[N], b[N];//龙的血量、龙每次回复的血量、每次打完龙得到的剑的攻击力、开始m把剑的攻击力 
ll ATK[N];//杀第i条龙用的剑的攻击力 
multiset<ll> s;
ll nn, A[N], B[N];//excrt时方程的数量、值、模数 
void init() {
	s.clear();
	for (int i = 1; i <= m; i++) s.insert(b[i]);//将剑放入set中 
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		set<ll>::iterator it = s.upper_bound(h[i]);
		if (it == s.begin()) ATK[i] = *it;
		else ATK[i] = *--it;
		s.erase(it);//注意这里是迭代器，否则会把所有值为ATK的都删掉 
		s.insert(a[i]);
	}
}
void solve1() {
	//如果全部p为1，则只需取 max{ceil(h[i]/ATK[i])} 即可 
	ll ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		ans = max(ans, (ll)ceil(1.0 * h[i] / ATK[i]));
	}
	print(ans);
}
ll exgcd(ll u, ll v, ll &x, ll &y) {
	if (v == 0) {
		x = 1, y = 0;
		return u;
	}
	ll g = exgcd(v, u % v, y, x);
	y = y - u / v * x;
	return g;
}
ll Mul(ll x, ll y, ll P) {
	return (__int128)x * y % P;
}
bool init2() {
	nn = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if (ATK[i] % p[i] == 0 && h[i] % p[i] == 0) continue;
		else if (ATK[i] % p[i] == 0 && h[i] % p[i] != 0) return false;
		else {
			ATK[i] %= p[i];
			ll tmp, tmp2;
			ll g = exgcd(ATK[i], p[i], tmp, tmp2);
			if (h[i] % g) return false;
			nn++;
			B[nn] = (p[i] / g);
			A[nn] = Mul(tmp, (h[i] / g), B[nn]);
			A[nn] = (A[nn] % B[nn] + B[nn]) % B[nn];
		}
	}
	return true;
}

ll solve2() {
	//第二种情况，套excrt 
	if (!init2()) return -1;
	ll X = A[1], M = B[1];
	for (int i = 2; i <= nn; i++) {
		ll z = (A[i] - X);
		z = (z % B[i] + B[i]) % B[i];
		ll t0, tmp;
		ll g = exgcd(M, B[i], t0, tmp);
		if (z % g) return -1;
		t0 = Mul(t0, z / g, B[i] / g);
		t0 = (t0 % (B[i] / g) + B[i] / g) % (B[i] / g);
		X = X + M * t0;
		M = M * (B[i] / g);
	}
	X = (X % M + M) % M;
	return X; 
}
int main() {
//	freopen("dragon.in", "r", stdin);
//	freopen("dragon.out", "w", stdout);
	read(T);
	while (T--) {
		read(n); read(m);
		for (int i = 1; i <= n; i++) read(h[i]);
		for (int i = 1; i <= n; i++) read(p[i]);
		for (int i = 1; i <= n; i++) read(a[i]);
		for (int i = 1; i <= m; i++) read(b[i]);
		init();
		bool flag = 1;
		for (int i = 1; i <= n; i++) if (p[i] != 1) {flag = 0; break;}//特判性质1，稍微压了压行 
		if (flag) {
			solve1();
		} else {
			print(solve2());
		}
	}
	return 0;
}