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  • 容斥 mobius反演

    (互质是公约数只有1的两个整数,叫做互质整数。公约数只有1的两个自然数,叫做互质自然数)

    一.欧拉函数:

    通式:

    其中p1, p2……pn为x的所有质因数,x是不为0的整数。

    φ(1)=1(和1互质的数(小于等于1)就是1本身)。

    注意:每种质因数只一个。 比如12=2*2*3那么φ(12)=12*(1-1/2)*(1-1/3)=4

    二.莫比乌斯反演定理

    1 设是定义在正整数集合上的两个函数,定义如下。

    .
    其中μ()函数是莫比乌斯函数,定义是:
    如果d=1 , μ(d)=1
    如果d为互异质数p1,p2…pk的乘积,则μ(d)=(−1)k

    否则,μ(d)=0() (存在pi>1)

    eg:u(1)=1,u(2)=(-1)=-1,u(9)=u(3*3)=0,u(10)=u(2*5)=(-1)*(-1)=1.
    2 辅助定理
    对于任意正整数n,恒有
      

    其中,d|n表示取遍n的正整数因子d,例如n=12时,d可以取1,2,3,4,6,12

    eg:当n=8时,原式等于u(1)+u(2)+u(4)+u(8)=1+(-1)+0+0=0.
    3 可重圆排列问题

    varphi(n)=nsum_{d|n}^{}{frac{mu(d)}{d}}
     

    4   克罗内克函数δ(x,y)  若x=y  则为1 否则为0
          黎曼ζ函数   ζ(x,y)   若x<=y  ζ(x,y) =1  否则为0
        莫比乌斯  为黎曼函数当逆函数 

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