Linear Algebra

二阶行列式的几何意义

二阶行列式 (D = egin{vmatrix}a_1&a_2\b_1&b_2end{vmatrix} = a_1b_2 - a_2b_1) 的几何意义是以向量 (vec a = (a_1, a_2), vec b = (b_1, b_2)) 为邻边的平行四边形的有向面积。

Figure 1. 二阶行列式的几何意义

根据以上条件，知四边形的面积 (S(vec a, vec b) = ab sin{<vec a, vec b>})

其中，(a = sqrt{a_1^2 + a_2^2}) ， (b = sqrt{b_1^2 + b_2^2}) ，

(sin{<vec a, vec b>} = sin{(alpha - eta)} = sin{alpha}cos{eta} - cos{alpha}sin{eta} = frac{b_2}{b} frac{a_1}{a} - frac{b_1}{b} frac{a_2}{b} = frac{a_1b_2 - a_2b_1}{ab})

整理，得 (ab sin{<vec a, vec b>} = a_1b_2 - a_2b_1)

而 (egin{vmatrix}a_1&a_2\b_1&b_2end{vmatrix} = a_1b_2 - a_2b_1)

所以

[egin{vmatrix}a_1&a_2\b_1&b_2end{vmatrix} = S(vec a, vec b) ]

三阶行列式的几何意义

三行列式是其行向量或列向量所张成的平行六面体的有向体积。

Figure 2. 三阶行列式的几何意义