Mathematics

正文

积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。

1 基本定义

1.1 定积分

对于一个给定的正实值函数 (f(x))，(f(x)) 在一个实数区间 ([a,b]) 上的定积分

[int_a^b f(x)\, dx ]

可以在数值上理解为在 (O_{xy}) 坐标平面上，由曲线 ((x, f(x))（xin [a,b]）)，直线 (x=a)， (x=b) 以及X轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）。

其中的 (mathrm{d}x) 称为积分变量，表示要求面积的范围是用坐标轴横轴的刻度计算； (int_a^b) 则表示从a开始算起，到b为止，称为积分范围或积分域，其中a称为积分下界，b称为积分上界，(int) 叫做积分号，是从拉长的字母S（拉丁文中的summa (ſumma)：求和的首字母）演变过来的。函数 (f(x)) 写在中间，称为被积函数。

1.2 不定积分

(f(x)) 的不定积分（或原函数）是指任何满足导数是函数 (f(x)) 的函数 (F(x))。一个函数 (f(x)) 的不定积分不是唯一的：只要 (F(x)) 是 (f(x)) 的不定积分，那么与之相差一个常数的函数 (F(x)+C) 也是 (f(x)) 的不定积分。

无说明的情况下，下文中的“积分”一词均指“定积分”。

1.3 黎曼积分

在实分析中，由黎曼创立的黎曼积分（英语：Riemann integral）首次对函数在给定区间上的积分给出了一个精确定义。黎曼积分在技术上的某些不足之处可由后来的黎曼－斯蒂尔杰斯积分和勒贝格积分得到修补。

黎曼积分的基本概念就是对 x-轴的分割越来越细，则其所对应的矩形面积和也会越来越趋近图形 S 的面积（如下图） 。

1.3.1 区间的分割

一个闭区间 ([a,b]) 的一个分割 (P) 是指在此区间中取一个有限的点列 (a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<ldots <x_{n}=b)。每个闭区间 ([x_{i},x_{i+1}]) 叫做一个子区间。定义 (lambda) 为这些子区间长度的最大值：(lambda =max(x_{i+1}-x_{i}))，其中 (0leq ileq n-1)。

一个闭区间 ([a,b]) 的一个取样分割是指在进行分割后，于每一个子区间中取出一点 (x_{i}leq t_{i}leq x_{i+1})。

1.3.2 黎曼和

对一个在闭区间 ([a,b]) 有定义的实值函数 (f)，(f) 关于取样分割 (x_{0}, cdots, x_{n})、(t_{0}, cdots, t_{n-1}) 的黎曼和（积分和）定义为以下和式：

[sum_{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i}) ]

和式中的每一项是子区间长度 (x_{i+1}-x_{i}) 与在 (t_{i}) 处的函数值 (f(t_{i})) 的乘积。直观地说，就是以标记点 (t_{i}) 到X轴的距离为高，以分割的子区间为长的矩形的面积。

1.4 勒贝格积分

2 性质

2.1 线性

2.2 保号性

2.3 介值性质

2.4 绝对连续性

2.5 积分不等式

3 微积分基本定理

设有在闭区间 ([a, b]) 上连续的可积函数 (f)。考虑积分上限函数 (F(x) = int_a^x f(t), mathrm{d} t)，则 (F) 在闭区间[a, b]上连续，在开区间 ((a, b)) 上可导，并且对开区间 ((a, b)) 中任意的 (x) 有：

[F'(x) = f(x) ]

3.1 推论

设有在闭区间 ([a, b]) 上连续的可积函数 (f)。考虑它的一个原函数 (F(x))，即：

[F'(x) = f(x) ]

则 (f) 在区间 ([a, b]) 上的定积分满足：

[int_a^b f(t) mathrm{d} t = F(b) - F(a) ]