FFT&NTT&多项式全家桶

FFT

前置芝士

多项式表示

系数表示法

(A(x)=sum_{i=0}^{n-1} a_i*x^i) 表示一个 (n-1) 次的多项式。 计算多项式乘法复杂度为 (O(n^2))

点值表示法

(n) 个互不相同的 (x_i) 带入得到 (n) 个$ y_i=sum_{j=0}^{n-1} a_j*{x_i}^j$

用 (n) 个点((x_1,y_1)...(x_n,y_n))表示一个 (n-1) 次多项式

复数

定义

模长: (sqrt{x^2+y^2})

幅角：从 (x) 轴正半轴到向量的转角的有向角

运算原则

• 加法

  平行四边形法则

• 乘法：

  几何：模长相乘，幅角相加

  代数： ((a+bi)*(c+di)=ac-bd+(bc+ad)i)

单位根

定义

(n) 为 2 的正整数幂。

复平面上的单位圆，以原点为起点，圆的 (n) 等分点为终点，做(n) 个向量。

设幅角为正且最小的向量对应的复数为 (omega_n) ，称为 (n) 次单位根。

其余 (n-1) 个复数为 ({omega_n}^2,{omega_n}^3...{omega_n}^n)

另外，在代数中，若 (z^n=1)，我们把 (z) 称为 (n) 次单位根。

单位根的性质

• ({omega_n}^k=cos {k {frac {2pi} n}}+i sin {k {frac {2pi} n}}) 欧拉公式

• ({omega_{2n}}^{2k}={omega_n}^k) 用欧拉公式证一下就行。

• ({omega_n}^{k+frac n 2}=-{omega_n}^k) 可以用欧拉公式证明 ({omega_n}^{frac n 2}=-1)

• ({omega_n}^0={omega_n}^n=1) 几何意义显然。

快速傅里叶变换

用点值表示法直接狂做，仍然是 (O(n^2)) 的，没有意义。

设多项式 (A(x)) 系数为 ((a_0,a_1,a_2,...a_{n-1}))

[A(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{n-1}x^{n-1} ]

将其下标奇偶分类

[A(x)=(a_0+a_2x^2+...+a_{n-2}x^{n-2})+ (a_1x+a_3x^3+...+a_{n-1}x^{n-1}) ]

设

[A_1(x)=a_0+a_2x+...+a_{n-2}x^{frac n 2-1}\ A_2(x)=a_1+a_3x+...+a_{n-1}x^{frac n 2-1} ]

则

[A(x)=A1(x^2)+xA_2(x^2) ]

利用单位根的性质

考虑用单位根作为 (x)

将 ({omega_n}^k(k<frac n 2)) 带入得

[A({omega_n}^k)=A1({omega_n}^{2k})+{omega_n}^kA_2({omega_n}^{2k})\ =A_1({omega_{frac n 2}}^{k})+{omega_n}^kA_2({omega_{frac n 2}}^{k}) ]

将 ({omega_n}^{k+frac n 2}) 带入得

[A(omega_n^{k+frac{n}{2}})=A_1(omega_n^{2k+n})+omega_n^{k+frac{n}{2}}(omega_n^{2k+n})\ =A_1(omega_n^{2k})+omega_n^{k+frac{n}{2}}(omega_n^{2k})\ =A_1({omega_{frac n 2}}^{k})-{omega_n}^kA_2({omega_{frac n 2}}^{k}) ]

这两个柿子只有一个符号不同。

前一个(kin[0,frac n 2)) ，后一个 ((k+frac n 2) in [frac n 2,n))

计算前一个时就可以同时计算后一个。

时间复杂度 (O(nlog n))

快速傅里叶逆变换

用于将点值表示法转化为系数表示法。

((a_0,a_1,...,a_n)) 的傅里叶变换（点值表示法）为 ((y_0,y_1,...,y_n-1))

多项式 (B(x)=sum_{i=0}^{n-1} y_ix^i) 的点值表示法是 (({omega_{n}}^{-i},c_i))

((c_0,c_1,...c_{n-1})) 满足

[egin{aligned} c_k&=sum_{i=0}^{n-1} y_i({omega_n}^{-k})^i\ &=sum_{i=0}^{n-1} (sum_{j=0}^{n-1} a_j{x_i}^j)({omega_n}^{-k})^i\ &=sum_{i=0}^{n-1} (sum_{j=0}^{n-1} a_j{{(omega_n}^i)}^j)({omega_n}^{-k})^i\ &=sum_{i=0}^{n-1} (sum_{j=0}^{n-1} a_j{{(omega_n}^i)}^j({omega_n}^{-k})^i)\ &=sum_{i=0}^{n-1} (sum_{j=0}^{n-1} a_j{{(omega_n}^j)}^i({omega_n}^{-k})^i)\ &=sum_{j=0}^{n-1} a_j sum_{i=0}^{n-1} {{(omega_n}^{j-k})}^i\ end{aligned} ]

令 (S(x)=sum_{i=0}^{n-1} x_i)

[S(omega_n^k)=sum_{i=0}^{n-1} {({omega_n}^k)}^i ]

等比数列求和之后

• (k=0) , (s=n)
• (k eq 0) , (s=0)

考虑之前的柿子。

[c_k=sum_{j=0}^{n-1} a_j sum_{i=0}^{n-1} {{(omega_n}^{j-k})}^i\ ]

• (j=k) 时，为 (n)

• (j eq k) 时，为 (0)

所以 (c_k=na_k)

[a_k=frac {c_k} n ]

总结

代码实现

• 尽量手写虚数

• 递归版

  #include<bits/stdc++.h>
  using namespace std;
  const int N=1e7+10;
  int n,m;
  double pi=acos(-1);
  struct cplx{
      double x,y;
      cplx(double xx=0,double yy=0){x=xx;y=yy;}
  }f[N],g[N];
  cplx operator + (cplx a,cplx b){ return cplx(a.x+b.x,a.y+b.y);}
  cplx operator - (cplx a,cplx b) {return cplx(a.x-b.x,a.y-b.y);}
  cplx operator * (cplx a,cplx b) {return cplx(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x);}
  void fft(int lim,cplx *a,int tp){
      if(lim==1) return;
      cplx a1[(lim>>1)+5],a2[(lim>>1)+5];
      for(int i=0;i<=lim;i+=2) a1[i>>1]=a[i],a2[i>>1]=a[i+1];
      fft(lim>>1,a1,tp);fft(lim>>1,a2,tp);
      cplx tmp=cplx(cos(2*pi/lim),tp*sin(2*pi/lim)),bg=cplx(1,0);
      for(int i=0;i<(lim>>1);i++,bg=bg*tmp){
          a[i]=a1[i]+bg*a2[i];
          a[i+(lim>>1)]=a1[i]-bg*a2[i];
      }
      return;
  }
  int main(){
      scanf("%d%d",&n,&m);
      for(int i=0;i<=n;i++) scanf("%lf",&f[i].x);
      for(int i=0;i<=m;i++) scanf("%lf",&g[i].x);
      int limit=1;while(limit<=n+m) limit<<=1;
      fft(limit,f,1);fft(limit,g,1);
      for(int i=0;i<=limit;i++) f[i]=f[i]*g[i];
      fft(limit,f,-1);
      for(int i=0;i<=m+n;i++) printf("%d ",(int)(f[i].x/limit+0.5) );
      return 0;
  }
  

• 迭代实现

  

  需要求的序列实际是原序列下标的二进制反转。

  因此对序列按照下标的奇偶性分类的过程其实是没有必要的。

  #include<bits/stdc++.h>
  using namespace std;
  typedef long long ll;
  const int N=4e6+10;
  double pi=acos(-1.0);
  int n,m,id[N];
  struct cplx{
      double x,y;
      cplx(double xx=0,double yy=0){ x=xx; y=yy; }
  }f[N],g[N];
  cplx operator + (cplx a,cplx b) { return cplx(a.x+b.x,a.y+b.y); }
  cplx operator - (cplx a,cplx b) { return cplx(a.x-b.x,a.y-b.y); }
  cplx operator * (cplx a,cplx b) { return cplx(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x); }
  void FFT(int lim,cplx *a,int tp){
      for(int i=0;i<lim;i++) if(id[i]>i) swap(a[i],a[id[i]]);
      for(int mid=1;mid<lim;mid<<=1){
          cplx wn(cos(pi/mid),tp*sin(pi/mid));
          for(int j=0,len=mid<<1;j<lim;j+=len){
              cplx w(1,0);
              for(int k=0;k<mid;k++,w=w*wn){
                  cplx x=a[j+k],y=w*a[j+k+mid];
                  a[j+k]=x+y; a[j+k+mid]=x-y;
              }
          }
      }
      return;
  }
  int main(){
      scanf("%d%d",&n,&m);
      for(int i=0;i<=n;i++) scanf("%lf",&f[i].x);
      for(int i=0;i<=m;i++) scanf("%lf",&g[i].x);
      int lim=1,len=0; while(lim<=n+m) lim<<=1,len++;
      for(int i=0;i<lim;i++) id[i]=(id[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
      FFT(lim,f,1); FFT(lim,g,1);
      for(int i=0;i<=lim;i++) f[i]=f[i]*g[i];
      FFT(lim,f,-1);
      for(int i=0;i<=n+m;i++)
          printf("%d ",(int)(f[i].x/lim+0.5));
      puts("");
      return 0;
  }
  

  如果你是一个背板子带师，你需要记住：

  • ({omega_n}^k=cos {k {frac {2pi} n}}+i sin {k {frac {2pi} n}})

  • (A({omega_n}^k)=A_1({omega_{frac n 2}}^{k})+{omega_n}^kA_2({omega_{frac n 2}}^{k}))

  • (A({omega_n}^{k+frac n 2})=A_1({omega_{frac n 2}}^{k})-{omega_n}^kA_2({omega_{frac n 2}}^{k}))

  • (a_k=frac {c_k} n)

NTT

可以解决FFT精度过低的问题。

原根

定义

考虑一个质数 (p) ，定义其原根 (g) 为使得 (g^i(0le ile p-2)) 互不相同的数。

为了满足单位根的四条性质，(n) 要是 (p-1) 的因数才能满足条件，(n) 是 2 的幂，所以 (p) 是形如 (q·2^k+1) 的质数。

http://blog.miskcoo.com/2014/07/fft-prime-table

常见模数998244353,1004535809,469762049998244353,1004535809,469762049，这些原根都是3

性质

FFT依赖了单位根的四条性质，原根都满足。

令 ({t_n}^nequiv 1 mod p) 即 (t_nequiv g^q mod p)，等价与 (omega_n)

• ({omega_n}^t) 互不相同，保证点值表示的合法。显然满足。

• ({omega_{2n}}^{2k}={omega_n}^k) 用于分治。

  ({t_{2n}}=g^{frac q 2}(p=frac q 2 imes 2n+1))

  ({t_{2n}}^{2k}=g^{2kfrac q 2}=g^{kq}=(t_n)^k)

• ({omega_{n}}^{k+frac n 2}=-{omega_n}^k) ，用于分治

  由费马小定理 ({t_n}^n=g^{nq}=g^{p-1}equiv 1 mod p)

  ({t_n^{frac n 2}}=1/-1)

  ∵ ({t_n^{frac n 2}} eq {t_n^{0}}) ∴ ({t_n^{frac n 2}}=-1)

  可推出 ({t_{n}}^{k+frac n 2}={t_{n}}^{k} imes {t_n^{frac n 2}}=-{t_n}^k)

• S(x) 在 (x=0) 时为 (n) 否则为 (0)

  等比数列一番再用性质三的结论。

求任意一个质数的原根

可以一一枚举 (g) 并检验。

结论：对于一个数 (g)，最小的满足(g^kequiv 1mod p) 的正整数 (k) 一定是 (p-1) 的约数。

Proof

如果最小的 (k) 不是 (p-1) 的约数，

找到 (x) 满足 (xk>p-1>(x-1)k)

[g^{xk}equiv g^{p-1}equiv g^{xk-(p-1)}mod p \xk-(p-1)<k ]

矛盾

检验时，只要枚举 (p-1) 的所有约数 (q) ，检验 (g^q eq 1 mod p) 即可。

代码实现

求原根

我没搞懂我是傻逼。

inline long long pow(const long long x, const long long n, const long long p) {
    long long ans = 1;
    for (long long num = x, tmp = n; tmp; tmp >>= 1, num = num * num % p) if (tmp & 1) ans = ans * num % p;
    return ans;
}

inline long long root(const long long p) {
    for (int i = 2; i <= p; i++) {
        int x = p - 1;
        bool flag = false;
        for (int k = 2; k * k <= p - 1; k++) if (x % k == 0) {
            if (pow(i, (p - 1) / k, p) == 1) {
                flag = true;
                break;
            }
            while (x % k == 0) x /= k;
        }

        if (!flag && (x == 1 || pow(i, (p - 1) / x, p) != 1)) {
            return i;
        }
    }
    throw;
}

NTT

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=4e6+10,mod=998244353;
int n,m,id[N],A[N],B[N],g=3;
int power(int a,int b){
    int ret=1;
    while(b){
        if(b&1) ret=1ll*ret*a%mod;
        b>>=1;a=1ll*a*a%mod;
    }
    return ret;
}
void NTT(int lim,int *a,int tp){
    for(int i=0;i<lim;i++) if(id[i]>i) swap(a[i],a[id[i]]);
    for(int mid=1;mid<lim;mid<<=1){
        int wn=power(g,(mod-1)/(mid<<1));
        if(tp==-1) wn=power(wn,mod-2);
        for(int j=0,len=mid<<1;j<lim;j+=len){
            int w=1;
            for(int k=0;k<mid;k++,w=1ll*w*wn%mod){
                int x=a[j+k],y=1ll*w*a[j+k+mid]%mod;
                a[j+k]=(x+y)%mod; a[j+k+mid]=(x-y)%mod;
            }
        }
    }
    return;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0;i<=n;i++) scanf("%d",&A[i]);
    for(int i=0;i<=m;i++) scanf("%d",&B[i]);
    int lim=1,len=0; while(lim<=n+m) lim<<=1,len++;
    for(int i=0;i<lim;i++) id[i]=(id[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
    NTT(lim,A,1); NTT(lim,B,1);
    for(int i=0;i<lim;i++) A[i]=1ll*A[i]*B[i]%mod;
    NTT(lim,A,-1);
    int inv=power(lim,mod-2);
    for(int i=0;i<=n+m;i++)
        printf("%d ",(int)((1ll*A[i]*inv%mod+mod)%mod));
    puts("");
    return 0;
}

多项式全家桶

泰勒展开

泰勒有一个看着不顺眼的函数，比如说是 (sin(x))

泰勒要制造一个图像和它很相似的多项式函数

泰勒会希望它的 (n) 阶导都相等

最后结果一定是

[g(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...a_nx^n ]

这样的，也就是要求 (a)

保证初始点相同，(g(0)=f(0)=a_0)

(f/g) 求完 (n) 阶导的时候，只有最后一项非0，是 (n!a_n)

初始点也不一定是0，所以泰勒展开的结果是

[G(x)=F(x_0)+dfrac{F^{(1)}(x_0)}{1!}(x-x_0)+dfrac{F^{(2)}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+cdots ]

差不多这个意思，还是看 zzc 的或者 原版为好。

牛顿迭代

以多项式求逆为例。

已知 (H(x)) ，且 (F(x)*H(x)equiv 1 mod {x^{lceil frac n 2 ceil}})

已知一个函数满足 (G(F(x))equiv 0mod {x^n}) ，已知的！已知的！已知的！！！

把 (G(F(x))) 在 (H(x)) 泰勒展开

[G(F(x))=G(H(x))+dfrac{G'(H(x))}{1!}(F(x)-H(x))+dfrac{G''(H(x))}{2!}(F(x)-H(x))^2+cdots\ ]

注意，这不是在拟合什么，G和G本来就一样，只是为了制造 (F(x)) 和 (H(x)) 之间的关系柿。。。

从第三项开始，由于 (F(x),H(x)) 的后 (frac n 2) 项相同，所以都是0

[G(F(x))=G(H(x))+{G'(H(x))}(F(x)-H(x)) ]

所以

[G(H(x))+{G'(H(x))}(F(x)-H(x)) equiv 0 mod {x^n}\ F(x)=H(x)-frac {G(H(x))} {G'(H(x))} ]

即

[F(x)=F_0(x)-frac {G(F_0(x))} {G'(F_0(x))} ]

每次如此，让它迅速逼近准确值。

本质上，迭代一次精度就可以翻倍。从 (mod x^{frac n 2}) 到 (mod x^n)

然而没人说证明。

多项式求逆

目标

求满足 (F(x)G(x)equiv 1mod x^n) 的 (G) ，系数对998244353取模。

求解

考虑倍增。

如果多项式 (F) 只有一项，那么显然 (G_0) 是 (F_0) 的逆元。若有 (n) 项，递归求解。

注意，以下 (frac n 2) 均指 (lceil frac n 2 ceil)，(') 不是求导后的结果。

假设已知

[F(x)G'(x)equiv 1 mod x^{ frac n 2 } ]

需要求

[F(x)G(x)equiv 1 mod x^{ n } ]

显然

[G(x)-G'(x)equiv 0 mod x^{frac n 2} ]

两边同时平方

[G^2(x)+{G'}^2(x)-2G(x)G'(x)equiv 0 mod x^{n} ]

两边同乘 (F(x))

[F(x)(G^2(x)+{G'}^2(x)-2G(x)G'(x))equiv 0 mod x^{n} ]

又因为 (F(x)G(x)equiv 1 mod x^{ n })

所以

[G(x)+F(x){G'}^2(x)-2G'(x)equiv 0 mod x^{n} ]

移项

[G(x) equiv 2G'(x)-F(x){G'}^2(x) mod x^{n} ]

只需初始 (G(0)=F(0)^{-1}) 即可倍增。

时间复杂度：(T(n)=T(frac n 2)+O(nlog n)=O(nlog n))

关于reverse：思考一下同余的事

关于预处理：？？

多项式对数函数

目标

求一个 (B(x)equiv ln A(x)mod {x^n})

求解

[C(x)=ln x\ {ln A(x)}'=C'(A(x))=C'(A(x))A'(x)=frac 1 {A(x)}·A'(x)=frac {A'(x)} {A(x)}\ B'(x)=ln A(x)\ B'(x)=frac {A'(x)} {A(x)}\ ]

因此只要导一下+求逆+积分回来（？代码中似乎并不是积分）

多项式指数函数(exp)

目标

求 (B(x)) 满足 (B(x)equiv {e^{A(x)}}mod {x^n}) 保证 (A(0)=0)

求解

[ln (B(x))=A(x)\ ]

令 (C(B(x))=ln (B(x))-A(x)) ，那么 (C'(B(x))=frac {1} {B(x)})

（ (A(x)) 可以当做常数量消掉。(x) 的改变，不会引起系数的改变。）

对其牛顿迭代。

[B(x)=B_0(x)-frac {C(B_0(x))} {C'(B_0(x))}\ B(x)=B_0(x)-frac {ln (B_0(x))-A(x)} {frac 1 {B_0(x)}}\ B(x)=B_0(x)-{(ln (B_0(x))-A(x)} ){B_0(x)}\ B(x)={(1-ln (B_0(x))+A(x)} ){B_0(x)}\ ]

这里的 (B_0(x)) 指的是 (modfrac n 2) 下的答案。依然递归求解即可。

多项式开根

目标

求 (B(x)) 使得 (B^2(x)equiv A(x)mod {x^n})

若有多解，请取零系数较小的作为答案。

求解

设 (G(B(x))=B(x)^2-A(x))

(G'(B(x))=2B(x))

对其牛顿迭代

[egin{aligned} B(x)&=B_0(x)-frac {G(B_0{x})} {G'(B_0(x))}\ &=B_0(x)-frac {G(B_0(x))} {2B_0(x)}\ &=frac {{B_0}^2(x)+A(x)} {2B_0(x)}\ &=frac {B_0(x)} 2+frac {A(x)} {2B_0(x)} end{aligned} ]

改一改exp就得了

多项式快速幂

目标

求一个 (B(x)equiv A^k(x)mod {x^n})

解法

两边同时取 (ln)

[ln(B(x))=ln (A^k(x))\ ln(B(x))=kln (A(x)) ]

再把 (ln(B(x))) exp回去即可。

多项式除法

目标

给定一个 (n) 次多项式 (F(x)) 和一个 (m) 次多项式 G(x) ，请求出多项式 (Q(x)) , (R(x)) ，满足以下条件：

• (Q(x)) 次数为 (n-m)，$$R(x)$$ 次数小于 (m)
• (F(x) = Q(x) * G(x) + R(x))

所有的运算在模 998244353 意义下进行。

求解

定义 (F_r(x)) 为把 (F(x)) 系数翻转后的函数。

[F(x)=sum_{i=0}^n a_ix^i ]

则

[F_r(x)=sum_{i=0}^n a_{n-i}x^i\ F_r(x)=x^nF(x^{-1}) ]

要满足

[F(x) = Q(x)G(x) + R(x)\ F(x^{-1}) = Q(x^{-1})G(x^{-1}) + R(x^{-1})\ x^nF(x^{-1}) = x^m Q(x^{-1}) x^{n-m}G(x^{-1}) +x^n R(x^{-1})\ F_r(x)=G_r(x)Q_r(x)+x^nR(x^{-1})\ ]

两边同时模 (x^{n-m+1})

[F_r(x)equiv G_r(x)Q_r(x) mod x^{n-m+1}\ Q_r(x)equiv F_r(x){G_r}^{-1}(x) mod x^{n-m+1} ]

可以计算出 (Q(x)) ，容易算出 (R(x))

const int N=4e6+10,mod=998244353;
inline int Add(int x,int y){ x+=y; if(x>=mod) x-=mod; return x; }
inline int Sub(int x,int y){ x-=y; if(x<0) x+=mod; return x; }
inline int mul(int x,int y){ return 1ll*x*y%mod; }
inline int read(){ char ch; ch=getchar(); int num=0,fff=1; while(ch<'0'||ch>'9'){ if(ch=='-') fff=-1; ch=getchar(); } while(ch>='0'&&ch<='9') num=(num<<3)+(num<<1)+ch-'0',ch=getchar(); return num*fff; }
inline void write(int x){ if(x<0) putchar('-'),x=-x; if(x>=10) write(x/10); putchar(x%10+'0'); return; }
inline int power(int a,int b){ int ret=1; while(b){ if(b&1) ret=mul(ret,a); b>>=1;a=mul(a,a); } return ret; }
inline int inv(int x){ return power(x,mod-2); }
namespace poly{
    int len,lim,id[N],pre[N],G=3,invG=332748118;
    inline void getlim(int x){ len=0,lim=1; while(lim<x) lim<<=1,len++; }
    inline void initid(){ for(int i=0;i<lim;i++) id[i]=(id[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1)); }
    void initpre(){
        for(int i=1;i<lim;i<<=1){
            int w=power(3,(mod-1)/(i<<1)); pre[i]=1;
            for(int j=1;j<i;j++) pre[i+j]=mul(pre[i+j-1],w);
        } 
    }
    void NTT(int *a,bool tp){
        for(int i=0;i<lim;i++) if(i<id[i]) swap(a[i],a[id[i]]);
        for(int mid=1,cnt=0;mid<lim;mid<<=1,cnt++)
            for(int j=0,len=mid<<1;j<lim;j+=len)
                for(int k=0;k<mid;k++){
                    int x=a[j+k],y=mul(pre[mid+k],a[j+k+mid]);
                    a[j+k]=Add(x,y); a[j+k+mid]=Sub(x,y);
                }
        if(tp) return;
        int invlim=inv(lim);
        for(int i=0;i<lim;i++) a[i]=mul(a[i],invlim);
        reverse(a+1,a+lim);
        return;
    }
    inline void getmul(int n,int m,int *a,int *b){
        getlim(n+m); initid();
        NTT(a,1); NTT(b,1);
        for(int i=0;i<lim;i++) a[i]=mul(a[i],b[i]);
        NTT(a,0);
        return;
    }
    inline void getinv(int n,int *a,int *b){
        static int tmp[N];
        getlim(n<<1);
        int m=lim;
        for(int i=0;i<lim;i++) b[i]=0;
        b[0]=inv(a[0]);
        for(int step=2;step<m;step<<=1){
            getlim(step<<1); 
            for(int i=0;i<lim;i++) tmp[i]=(i<step)?a[i]:0;
            initid();
            NTT(tmp,1); NTT(b,1);
            for(int i=0;i<lim;i++) b[i]=mul(Sub(2,mul(b[i],tmp[i])),b[i]);
            NTT(b,0);
            for(int i=step;i<lim;i++) b[i]=0;
        }
        return;
    }
    inline void getdao(int n,int *a,int *b){ b[n-1]=0; for(int i=1;i<n;i++) b[i-1]=mul(i,a[i]); }
    inline void getjifen(int n,int *a,int *b){ b[0]=0; for(int i=1;i<n;i++) b[i]=mul(inv(i),a[i-1]); }
    inline void getln(int n,int *a,int *b){
        static int A[N],B[N];
        for(int i=0;i<lim;i++) A[i]=B[i]=b[i]=0; 
        getlim(n<<1); getdao(n,a,A);
        getinv(n,a,B); getmul(n,n,A,B);
        getjifen(n,A,b);
    }
    void getexp(int n,int *a,int *b){
        a[0]++;
        static int tmp[N];
        getlim(n<<1);
        int m=lim;
        for(int i=0;i<m;i++) tmp[i]=0;
        b[0]=1; 
        for(int step=2;step<m;step<<=1){
            getlim(step<<1); getln(step,b,tmp);
            for(int i=0;i<step;i++) tmp[i]=Sub(a[i],tmp[i]);
            getmul(step,step,b,tmp);
            for(int i=step;i<lim;i++) b[i]=tmp[i]=0;
        }
        a[0]--;
    }
    void getsqrt(int n,int *a,int *b){
        static int tmp[N],tmp2[N];
        int m=lim;
        for(int i=0;i<m;i++) tmp[i]=tmp2[N]=0;
        b[0]=1; 
        for(int step=2;step<m;step<<=1){
            getlim(step<<1); getinv(step,b,tmp);
            for(int i=0;i<step;i++) tmp2[i]=a[i];
            getmul(step,step,tmp,tmp2);
            int inv2=inv(2); for(int i=0;i<step;i++) b[i]=mul(Add(b[i],tmp[i]),inv2);
            for(int i=step;i<lim;i++) b[i]=tmp[i]=tmp2[i]=0;
        }
        return;
    }
    void getpower(int n,int k,int *a,int *b){
        static int tmp[N];
        getln(n,a,tmp);
        for(int i=0;i<n;++i) tmp[i]=mul(tmp[i],k);
        getexp(n,tmp,b);
    }
    void getdiv(int n,int m,int *a,int *b,int *c,int *d){
        static int ar[N],br[N],tmp[N];
        for(int i=0;i<n;i++) ar[i]=a[n-1-i];
        for(int i=0;i<m;i++) br[i]=b[m-1-i],tmp[i]=b[i];
        for(int i=n-m+1;i<lim;i++) ar[i]=0,br[i]=0;
        getinv(n-m+1,br,c);
        
        getmul(n,n-m+1,c,ar);
        reverse(c,c+n-m+1);
        for(int i=n-m+1;i<lim;i++) c[i]=0;
        for(int i=0;i<n-m+1;i++) d[i]=c[i];
        getmul(n-m+1,m,d,tmp);
        for(int i=0;i<m-1;i++) d[i]=Sub(a[i],d[i]);
        return;
    }
}