ARC 117 D

ARC 117 D - Miracle Tree

给出一颗树， (Nle 2e5)

要求构造一组 (E_i(1le i le N)) 满足

• (E_ige 1)
• (|E_i-E_j|ge dist(i,j))
• 最小化 (max(E_i))

首先考虑条件二，

不妨 (E_{p_1}<E_{p_2}<...<E_{p_{n-1}}<E_{p_n})，则 (|E_{p_{i+1}}-E_{p_i}|ge dist(p_i,p_{i+1}))

可得 (|E_r-E_l|ge dist (p_l,p_{l+1})+dist(p_{l+1},p_{l+2})+...+dist(p_{r-1},p_r)ge dist(p_l,p_r))

考虑到条件三，要使得 (E_{p_n}) 最小，则 (E_{p_n}=dist(p_1,p_2)+...+dist(p_{n-1},p_n))

问题转化为寻找一个排列，使得 (dist(p_1,p_2)+...+dist(p_{n-1},p_n)) 最小。

如果头尾相同，那显然最小的是欧拉序。

如果头尾不同，那么希望头尾之间原来有的路径是直径。

这个图怎么绿油油的，下次不选这个颜色了

如图，橙色的是直径，只走了一次，其他边都被走了两次。

注意编号。返程访问点的时候也要加，否则不符合条件二。

代码实现上，最后访问直径。

const int N = 2e5 + 10;
int n, dep[N], is[N], son[N], res[N], tim, p, q;
int e, to[N << 1], nxt[N << 1], hd[N];
void add(int u, int v){ to[++e] = v; nxt[e] = hd[u]; hd[u] = e; }
void dfs(int u, int fa){
	if(dep[u] > dep[p]) p = u;
	for(int i = hd[u]; i; i = nxt[i]){
		int v = to[i]; if(v == fa) continue;
		dep[v] = dep[u] + 1; dfs(v, u);
	}
	return;
}
void dfs2(int u, int fa){
	is[u] = (u == q); 
	for(int i = hd[u]; i; i = nxt[i]){
		int v = to[i]; if(v == fa) continue;
		dfs2(v, u); if(is[v]) is[u] = 1, son[u] = v; 
	}
	
	return;
}
void dfs3(int u, int fa){
	res[u] = ++tim;
	for(int i = hd[u]; i; i = nxt[i]){
		int v = to[i]; if(v == fa || v == son[u]) continue;
		dfs3(v, u);
	}
	if(son[u]) dfs3(son[u], u);
	++tim;
	return;
}
int main() {
	scanf("%d", &n);
	for(int i = 1, u, v; i < n; i++)
		scanf("%d%d", &u, &v), add(u, v), add(v, u);
	p = 1; dep[1] = 0; dfs(1, 0);
	q = p; dep[q] = 0; dfs(q, 0);
	dfs2(p, 0); dfs3(p, 0);
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		printf("%d ", res[i]);
	return 0;
}