压位高精度的写法

// 2020/06/10 修正 HTML 代码

压位高精度的写法

　　之前有单位高精度算法，那么有没有可以加速、节省空间的做法呢？

　　有！

　　以前，存数字数组里面只存着一个数字，所以加减都是一位一位地加，进位也是一位一位地实现。

　　所以，我们尝试着将数字序列从一位变成多位。

　　比如高精度加法：

　　如果压两位，我们就两位两位地存数字，运算时依然可以正常相加，但是相加的次数减半了；

　　进位时，只需要将进位的数字除以 $10^2$，加到下一位就可以了。

　　所以，如果我们压八位（保证 LL 存的下的情况），那么时空复杂度的常数是 $frac{1}{8}$。

　　如，计算：$13134987124987+192837918479$。

　　传统做法：

　　Step 1: 分离数位

  1  3  1  3  4  9  8  7  1  2  4  9  8  7
+       1  9  2  8  3  7  9  1  8  4  7  9

　　Step 2: 每位相加

  1  3  1  3  4  9  8  7  1  2  4  9  8  7
+       1  9  2  8  3  7  9  1  8  4  7  9
————————————————————————————————————————————
  1  3  2 12  8 17 11 14 10  3 12 13 15 16

　　Step 3: 进位

  1  3  1  3  4  9  8  7  1  2  4  9  8  7
+       1  9  2  8  3  7  9  1  8  4  7  9
————————————————————————————————————————————
  1  3  3  2  7  8  2  5  0  4  3  4  6  6

　　所以答案为 $13327825043466$。

　　压位做法（压 $4$ 位）：

　　Step 1: 分离数位

   13    1349     8712    4987
+        1928     3791    8479

　　Step 2: 相加

   13    1349     8712    4987
+        1928     3791    8479
————————————————————————————————
   13    3277    12503   13466

　　Step 3: 进位

   13    1349     8712    4987
+        1928     3791    8479
————————————————————————————————
   13    3278     2504    3466

　　所以答案为 $13327825043466$，和上面答案一样

---

排坑

　　我们发现，有些数位进位之后会发生一些意想不到的结果：

　　例子：1598 + 9144

　　我们如果压 4 位，结果是：

      1598
+     9144
————————————————
   1  0472

　　但是，这个 0472 如果直接输出，是 472，于是就 WA 了。

　　所以可以这么写：

printf("%.4d", a);

　　这句话的作用是如果 a 不到 4 位就把不到的位用 0 填充后输出。

　　但是，又有一个坑：

　　最高位所在的那段不能用 $0$ 填充 。

　　所以比较好的做法，是先输出第一个数，再按照如上填充方式输出。

---

　　压位高精度在乘法等复杂度较高的运算会有很大用处。