[模板][二分]倍增及其应用

基础入门

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给定数组 和 数字T, 求最大位置K 满足 sum(1 - k) <= t;

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最简单的想法就是 前缀和 + 二分, 每次查询时间复杂度log(n), 对于数列最左端的数据没有必要

这里的倍增可以理解为二分的改良优化版,

设K点为0, P点为1

1. 每次试从当前点K往后加P个数是否小于T

以log速度快速使K逼近答案点

2.随后再把P值快速缩向条件1, 返回1

当P为零时K即为答案

typedef long long ll;

const int MAXN = 1e6 + 10;

ll arr[MAXN] = {0};
ll brr[MAXN] = {0};

{
    ll n;

    cin >> n;

    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
    	cin >> arr[i];
    	brr[i] = arr[i] + brr[i - 1];
    	cout << brr[i] << ' ';
    }

    ll t;

    while( cin >> t)
    {
		ll p = 1, k = 0, sum = 0;
		
		while(p)
		{
			if(p + k <= n && sum + brr[p + k] - brr[k] <= t)
			{
				sum += (brr[p + k] - brr[k]);
				k += p, p *= 2;
			}
			else
				p /= 2;
		} 
		cout<< k <<'
';
	}

    return 0;
}

/*
6
1 2 3 4 5 6
20
 */

ST 算法 RMQ

ST算法是区间倍增保存信息的典型例子

树高log2(n) + 1, 第i行的每个结点保存从原数组当前位之后 (1 << (i - 1)) 的最大值

很容易发现最大值不断传递并符合通式 rmq[i][j] = max(rmq[i - 1][j], rmq[i - 1][j + (1 << (i - 1) )]);

查询时  把区间分成可以交叉的两部分 l 到 l + 2 ^（k）- 1, 到 r  - (1 << k) + 1 到 r 的两部分取最值即可

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输入, 树的第零层

int n;

cin >> n;

for(int i = 0; i < n; ++i)
{
	cin >> rmq[0][i];
}

预处理 从第二层到第 log2(n) + 1 层

void init_st(int n)
{
	int len = log2(n) + 1;

    for(int i = 1; i < len; ++i)
    {
    	for(int j = 0; j <= n - (1 << i) + 1; ++j)
    	{
    		rmq[i][j] = max(rmq[i - 1][j], rmq[i - 1][j + (1 << (i - 1) )]);
    	}
    }
}

查询组成区间求最值

ll query_st(int fst, int lst)
{
	int k = log2(lst - fst + 1);
	return max(rmq[k][fst], rmq[k][lst - (1 << k) + 1]);
}