二分类问题Sigmod
在 logistic 回归中，我们的训练集由 
个已标记的样本构成：
，其中输入特征
。（我们对符号的约定如下：特征向量 
的维度为 
，其中 
对应截距项 。） 由于 logistic 回归是针对二分类问题的，因此类标记 
。假设函数(hypothesis function) 如下：
我们将训练模型参数 
，使其能够最小化代价函数 ：
![egin{align}
J( heta) = -frac{1}{m} left[ sum_{i=1}^m y^{(i)} log h_ heta(x^{(i)}) + (1-y^{(i)}) log (1-h_ heta(x^{(i)}))
ight]
end{align}](http://ufldl.stanford.edu/wiki/images/math/f/a/6/fa6565f1e7b91831e306ec404ccc1156.png)
多分类问题
在一个多分类问题中，因变量y有k个取值，即
。例如在邮件分类问题中，我们要把邮件分为垃圾邮件、个人邮件、工作邮件3类，目标值y是一个有3个取值的离散值。这是一个多分类问题，二分类模型在这里不太适用。
主要应用就是多分类，sigmoid函数只能分两类，而softmax能分多类，softmax是sigmoid的扩展。
Logistic函数只能被使用在二分类问题中，但是它的多项式回归，即softmax函数，可以解决多分类问题。
在 softmax回归中，我们解决的是多分类问题（相对于 logistic 回归解决的二分类问题），类标 
可以取 
个不同的值（而不是 2 个）。因此，对于训练集 ，我们有 
。（注意此处的类别下标从 1 开始，而不是 0）
对于给定的测试输入 ，我们想用假设函数针对每一个类别j估算出概率值 
。也就是说，我们想估计 的每一种分类结果出现的概率。因此，我们的假设函数将要输出一个 维的向量（向量元素的和为1）来表示这 个估计的概率值。 具体地说，我们的假设函数 
形式如下：
其中 
是模型的参数。请注意 
这一项对概率分布进行归一化，使得所有概率之和为 1 。
为了方便起见，我们同样使用符号 来表示全部的模型参数。在实现Softmax回归时，将 用一个 
的矩阵来表示会很方便，该矩阵是将 
按行罗列起来得到的，如下所示：
代价函数
值为假的表达式 
。举例来说，表达式 
的值为1 ，
的值为 0。我们的代价函数为：
![egin{align}
J( heta) = - frac{1}{m} left[ sum_{i=1}^{m} sum_{j=1}^{k} 1left{y^{(i)} = j
ight} log frac{e^{ heta_j^T x^{(i)}}}{sum_{l=1}^k e^{ heta_l^T x^{(i)} }}
ight]
end{align}](http://ufldl.stanford.edu/wiki/images/math/7/6/3/7634eb3b08dc003aa4591a95824d4fbd.png)
值得注意的是，上述公式是logistic回归代价函数的推广。logistic回归代价函数可以改为：
![egin{align}
J( heta) &= -frac{1}{m} left[ sum_{i=1}^m (1-y^{(i)}) log (1-h_ heta(x^{(i)})) + y^{(i)} log h_ heta(x^{(i)})
ight] \
&= - frac{1}{m} left[ sum_{i=1}^{m} sum_{j=0}^{1} 1left{y^{(i)} = j
ight} log p(y^{(i)} = j | x^{(i)} ; heta)
ight]
end{align}](http://ufldl.stanford.edu/wiki/images/math/5/4/9/5491271f19161f8ea6a6b2a82c83fc3a.png)
可以看到，Softmax代价函数与logistic 代价函数在形式上非常类似，只是在Softmax损失函数中对类标记的 k 个可能值进行了累加。注意在Softmax回归中将 x 分类为类别 
的概率为：
.
对于 
的最小化问题，目前还没有闭式解法。因此，我们使用迭代的优化算法（例如梯度下降法，或 L-BFGS）。经过求导，我们得到梯度公式如下：
![egin{align}
abla_{ heta_j} J( heta) = - frac{1}{m} sum_{i=1}^{m}{ left[ x^{(i)} left( 1{ y^{(i)} = j} - p(y^{(i)} = j | x^{(i)}; heta)
ight)
ight] }
end{align}](http://ufldl.stanford.edu/wiki/images/math/5/9/e/59ef406cef112eb75e54808b560587c9.png)
让我们来回顾一下符号 "
" 的含义。
本身是一个向量，它的第 
个元素 
是 对
的第 个分量的偏导数。
有了上面的偏导数公式以后，我们就可以将它代入到梯度下降法等算法中，来最小化 。 例如，在梯度下降法的标准实现中，每一次迭代需要进行如下更新: 
(
）。
当实现 softmax 回归算法时， 我们通常会使用上述代价函数的一个改进版本。
Softmax回归与Logistic 回归的关系
当类别数 
时，softmax 回归退化为 logistic 回归。这表明 softmax 回归是 logistic 回归的一般形式。具体地说，当 时，softmax 回归的假设函数为：
利用softmax回归参数冗余的特点，我们令 
，并且从两个参数向量中都减去向量 
，得到:
因此，用 
来表示
，我们就会发现 softmax 回归器预测其中一个类别的概率为 
，另一个类别概率的为 
，这与 logistic回归是一致的。
广义线性模型
这些分布之所以长成这个样子，是因为我们对y进行了假设。
当y是两点分布-------->linear model
当y是正态分布-------->Logistic model
当y是多项式分布-------->Softmax
http://ufldl.stanford.edu/wiki/index.php/Softmax回归#Softmax.E5.9B.9E.E5.BD.92.E4.B8.8ELogistic_.E5.9B.9E.E5.BD.92.E7.9A.84.E5.85.B3.E7.B3.BB