01背包问题

题目

　　有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。

基本思路

　　这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

 

　　用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]} 。 可以压缩空间，f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

 

　　这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f [i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

 

　　注意f[v]有意义当且仅当存在一个前i件物品的子集，其费用总和为v。所以按照这个方程递推完毕后，最终的答案并不一定是f[N] [V]，而是f[N][0..V]的最大值。如果将状态的定义中的“恰”字去掉，在转移方程中就要再加入一项f[v-1]，这样就可以保证f[N] [V]就是最后的答案。至于为什么这样就可以，由你自己来体会了。

优化空间复杂度

　　以上方法的时间和空间复杂度均为O(N*V)，其中时间复杂度基本已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O(N)。

 

　　先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1..N，每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。那么，如果只用一个数组f [0..V]，能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢？

 

　　f[i][v]是由f[i-1][v]和f [i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来，能否保证在推f[v]时（也即在第i次主循环中推f[v]时）能够得到f[v]和f[v -c[i]]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。伪代码如下：

 

　　for i=1..N

 

　　for v=V..0

 

　　f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

 

　　其中的f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相当于我们的转移方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]}，因为现在的

 

　　f[v-c[i]]就相当于原来的f[i-1][v-c[i]]。如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了f[i][v]由f[i][v-c[i]]推知，与本题意不符，但它却是另一个重要的背包问题P02最简捷的解决方案，故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的。

基础题

01：http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=289

 
#include<stdio.h>
#include<string.h>
int m=-1;
int max(int x,int y)
{
    if(x>y)return x;
    else return y;
}
int main()
{
    int f[1001],i,n,v,c[1001],w[1001],j;
    while(scanf("%d %d",&n,&v)!=EOF&&n||v)
    {
        memset(f,0,sizeof(f));
        m=-1;
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d %d",&c[i],&w[i]);
        }
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            for(j=v;j>=c[i];j--)
            {
                f[j]=max(f[j],f[j-c[i]]+w[i]);
                if(f[j]>m)
                m=f[j];
            }
        }
        printf("%d
",m);
    }
}        

02：http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=49

 
#include<stdio.h>
#include<string.h>
int max(int x,int y)
{
    if(x>y)return x;
    else return y;
}
int main()
{
    int N,t,m,i,f[30001],v[3000],w[3000];
    scanf("%d",&N);
    int ans=-1;
    while(N--)
    {
        scanf("%d %d",&t,&m);
        memset(f,0,sizeof(f));
        ans=-1;
        for(i=1;i<=m;i++)
        {
            scanf("%d %d",&v[i],&w[i]);
        }
        for(i=1;i<=m;i++)
        {
            for(int j=t;j>=v[i];j--)
            {
                f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+v[i]*w[i]);
            }
            
        }
        printf("%d
",f[t]);
    }
}