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矩阵求导术（下）
原文链接：https://zhuanlan.zhihu.com/p/24863977

本文承接上篇 https://zhuanlan.zhihu.com/p/24709748，来讲矩阵对矩阵的求导术。使用小写字母x表示标量，粗体小写字母 $oldsymbol{x}$ 表示列向量，大写字母X表示矩阵。矩阵对矩阵的求导采用了向量化的思路，常应用于二阶方法求解优化问题。

首先来琢磨一下定义。矩阵对矩阵的导数，需要什么样的定义？第一，矩阵F(p×q)对矩阵X(m×n)的导数应包含所有mnpq个偏导数 $frac{partial F_{kl}}{partial X_{ij}}$ ，从而不损失信息；第二，导数与微分有简明的联系，因为在计算导数和应用中需要这个联系；第三，导数有简明的从整体出发的算法。我们先定义向量 $oldsymbol{f}$ (p×1)对向量 $oldsymbol{x}$ (m×1)的导数 $frac{partial oldsymbol{f}}{partial oldsymbol{x}} = egin{bmatrix} frac{partial f_1}{partial x_1} & frac{partial f_2}{partial x_1} & cdots & frac{partial f_p}{partial x_1}\ frac{partial f_1}{partial x_2} & frac{partial f_2}{partial x_2} & cdots & frac{partial f_p}{partial x_2}\ vdots & vdots & ddots & vdots\ frac{partial f_1}{partial x_m} & frac{partial f_2}{partial x_m} & cdots & frac{partial f_p}{partial x_m}\ end{bmatrix}$ (m×p)，有 $doldsymbol{f} = frac{partial oldsymbol{f} }{partial oldsymbol{x} }^T doldsymbol{x}$ ；再定义矩阵的（按列优先）向量化 $mathrm{vec}(X) = [X_{11}, ldots, X_{m1}, X_{12}, ldots, X_{m2}, ldots, X_{1n}, ldots, X_{mn}]^T$ (mn×1)，并定义矩阵F对矩阵X的导数 $frac{partial F}{partial X} = frac{partial mathrm{vec}(F)}{partial mathrm{vec}(X)}$ (mn×pq)。导数与微分有联系 $mathrm{vec}(dF) = frac{partial F}{partial X}^T mathrm{vec}(dX)$ 。几点说明如下：
1. 按此定义，标量f对矩阵X(m×n)的导数 $frac{partial f}{partial X}$ 是mn×1向量，与上篇的定义不兼容，不过二者容易相互转换。为避免混淆，用记号 $abla_X f$ 表示上篇定义的m×n矩阵，则有 $frac{partial f}{partial X}=mathrm{vec}( abla_X f)$ 。虽然本篇的技术可以用于标量对矩阵求导这种特殊情况，但使用上篇中的技术更方便。读者可以通过上篇中的算例试验两种方法的等价转换。
2. 标量对矩阵的二阶导数，又称Hessian矩阵，定义为 $abla^2_X f = frac{partial^2 f}{partial X^2} = frac{partial abla_X f}{partial X}$ (mn×mn)，是对称矩阵。对向量 $frac{partial f}{partial X}$ 或矩阵 $abla_X f$ 求导都可以得到Hessian矩阵，但从矩阵 $abla_X f$ 出发更方便。
3. $frac{partial F}{partial X} = frac{partialmathrm{vec} (F)}{partial X} = frac{partial F}{partial mathrm{vec}(X)} = frac{partialmathrm{vec}(F)}{partial mathrm{vec}(X)}$ ，求导时矩阵被向量化，弊端是这在一定程度破坏了矩阵的结构，会导致结果变得形式复杂；好处是多元微积分中关于梯度、Hessian矩阵的结论可以沿用过来，只需将矩阵向量化。例如优化问题中，牛顿法的更新 $Delta X$ ，满足 $mathrm{vec}(Delta X) = -( abla^2_X f)^{-1}mathrm{vec}( abla_X f)$ 。
4. 在资料中，矩阵对矩阵的导数还有其它定义，比如 $frac{partial F}{partial X} = left[frac{partial F_{kl}}{partial X} ight]$ (mp×nq)，它能兼容上篇中的标量对矩阵导数的定义，但微分与导数的联系（dF等于 $frac{partial F}{partial X}$ 中每个m×n子块分别与dX做内积）不够简明，不便于计算和应用。
然后来建立运算法则。仍然要利用导数与微分的联系 $mathrm{vec}(dF) = frac{partial F}{partial X}^T mathrm{vec}(dX)$ ，求微分的方法与上篇相同，而从微分得到导数需要一些向量化的技巧：
1. 线性： $mathrm{vec}(A+B) = mathrm{vec}(A) + mathrm{vec}(B)$ 。
2. 矩阵乘法： $mathrm{vec}(AXB) = (B^T otimes A) mathrm{vec}(X)$ ，其中 $otimes$ 表示Kronecker积，A(m×n)与B(p×q)的Kronecker积是 $Aotimes B = [A_{ij}B]$ (mp×nq)。此式证明见张贤达《矩阵分析与应用》第107-108页。
3. 转置： $mathrm{vec}(A^T) = K_{mn}mathrm{vec}(A)$ ，A是m×n矩阵，其中 $K_{mn}$ (mn×mn)是交换矩阵(commutation matrix)。
4. 逐元素乘法： $mathrm{vec}(Aodot X) = mathrm{diag}(A)mathrm{vec}(X)$ ，其中 $mathrm{diag}(A)$ (mn×mn)是用A的元素（按列优先）排成的对角阵。
观察一下可以断言，若矩阵函数F是矩阵X经加减乘法、行列式、逆、逐元素函数等运算构成，则使用相应的运算法则对F求微分，再做向量化并使用技巧将其它项交换至vec(dX)左侧，即能得到导数。

再谈一谈复合：假设已求得 $frac{partial F}{partial Y}$ ，而Y是X的函数，如何求 $frac{partial F}{partial X}$ 呢？从导数与微分的联系入手， $mathrm{vec}(dF) = frac{partial F}{partial Y}^Tmathrm{vec}(dY) = frac{partial F}{partial Y}^Tfrac{partial Y}{partial X}^Tmathrm{vec}(dX)$ ，可以推出链式法则 $frac{partial F}{partial X} = frac{partial Y}{partial X}frac{partial F}{partial Y}$ 。

和标量对矩阵的导数相比，矩阵对矩阵的导数形式更加复杂，从不同角度出发常会得到形式不同的结果。有一些Kronecker积和交换矩阵相关的恒等式，可用来做等价变形：
1. $(Aotimes B)^T = A^T otimes B^T$ 。
2. $mathrm{vec}(oldsymbol{ab}^T) = oldsymbol{b}otimesoldsymbol{a}$ 。
3. $(Aotimes B)(Cotimes D) = (AC)otimes (BD)$ 。可以对 $F = D^TB^TXAC$ 求导来证明，一方面，直接求导得到 $frac{partial F}{partial X} = (AC) otimes (BD)$ ；另一方面，引入 $Y = B^T X A$ ，有 $frac{partial F}{partial Y} = C otimes D, frac{partial Y}{partial X} = A otimes B$ ，用链式法则得到 $frac{partial F}{partial X} = (Aotimes B)(C otimes D)$ 。
4. $K_{mn} = K_{nm}^T, K_{mn}K_{nm} = I$ 。
5. $K_{pm}(Aotimes B) K_{nq} = Botimes A$ ，A是m×n矩阵，B是p×q矩阵。可以对 $AXB^T$ 做向量化来证明，一方面， $mathrm{vec}(AXB^T) = (Botimes A)mathrm{vec}(X)$ ；另一方面， $mathrm{vec}(AXB^T) = K_{pm}mathrm{vec}(BX^TA^T) = K_{pm}(Aotimes B)mathrm{vec}(X^T) = K_{pm}(Aotimes B) K_{nq}mathrm{vec}(X)$ 。
接下来演示一些算例。

例1： $F = AX$ ，X是m×n矩阵，求 $frac{partial F}{partial X}$ 。

解：先求微分： $dF=AdX$ ，再做向量化，使用矩阵乘法的技巧，注意在dX右侧添加单位阵： $mathrm{vec}(dF) = mathrm{vec}(AdX) = (I_notimes A)mathrm{vec}(dX)$ ，对照导数与微分的联系得到 $frac{partial F}{partial X} = I_notimes A^T$ 。

特例：如果X退化为向量， $oldsymbol{f} = A oldsymbol{x}$ ，则根据向量的导数与微分的关系 $doldsymbol{f} = frac{partial oldsymbol{f}}{partial oldsymbol{x}}^T doldsymbol{x}$ ，得到 $frac{partial oldsymbol{f}}{partial oldsymbol{x}} = A^T$ 。

例2： $f = log |X|$ ，X是n×n矩阵，求 $abla_X f$ 和 $abla^2_X f$ 。

解：使用上篇中的技术可求得 $abla_X f = X^{-1T}$ 。为求 $abla^2_X f$ ，先求微分： $d abla_X f = -(X^{-1}dXX^{-1})^T$ ，再做向量化，使用转置和矩阵乘法的技巧 $mathrm{vec}(d abla_X f)= -K_{nn}mathrm{vec}(X^{-1}dX X^{-1}) = -K_{nn}(X^{-1T}otimes X^{-1})mathrm{vec}(dX)$ ，对照导数与微分的联系，得到 $abla^2_X f = -K_{nn}(X^{-1T}otimes X^{-1})$ ，注意它是对称矩阵。在 $X$ 是对称矩阵时，可简化为 $abla^2_X f = -X^{-1}otimes X^{-1}$ 。

例3： $F = Aexp(XB)$ ，A是l×m，X是m×n，B是n×p矩阵，exp()为逐元素函数，求 $frac{partial F}{partial X}$ 。

解：先求微分： $dF = A(exp(XB)odot (dXB))$ ，再做向量化，使用矩阵乘法的技巧： $mathrm{vec}(dF) = (I_potimes A)mathrm{vec}(exp(XB)odot (dXB))$ ，再用逐元素乘法的技巧： $mathrm{vec}(dF) = (I_p otimes A) mathrm{diag}(exp(XB))mathrm{vec}(dXB)$ ，再用矩阵乘法的技巧： $mathrm{vec}(dF) = (I_potimes A)mathrm{diag}(exp(XB))(B^Totimes I_m)mathrm{vec}(dX)$ ，对照导数与微分的联系得到 $frac{partial F}{partial X} = (Botimes I_m)mathrm{diag}(exp(XB))(I_potimes A^T)$ 。

例4【一元logistic回归】： $l = -y oldsymbol{x}^T oldsymbol{w} + log(1 + exp(oldsymbol{x}^Toldsymbol{w}))$ ，求 $abla_oldsymbol{w} l$ 和 $abla^2_oldsymbol{w} l$ 。其中 $y$ 是取值0或1的标量， $oldsymbol{x},oldsymbol{w}$ 是向量。

解：使用上篇中的技术可求得 $abla_oldsymbol{w} l = oldsymbol{x}(sigma(oldsymbol{x}^Toldsymbol{w}) - y)$ ，其中 $sigma(a) = frac{exp(a)}{1+exp(a)}$ 为sigmoid函数。为求 $abla^2_oldsymbol{w} l$ ，先求微分： $d abla_oldsymbol{w} l = oldsymbol{x} sigma'(oldsymbol{x}^Toldsymbol{w})oldsymbol{x}^T doldsymbol{w}$ ，其中 $sigma'(a) = frac{exp(a)}{(1+exp(a))^2}$ 为sigmoid函数的导数，对照导数与微分的联系，得到 $abla_w^2 l = oldsymbol{x}sigma'(oldsymbol{x}^Toldsymbol{w})oldsymbol{x}^T$ 。

推广：样本 $(oldsymbol{x}_1, y_1), dots, (oldsymbol{x}_n,y_n)$ ， $l = sum_{i=1}^N left(-y_i oldsymbol{x}_i^Toldsymbol{w} + log(1+exp(oldsymbol{x_i}^Toldsymbol{w})) ight)$ ，求 $abla_w l$ 和 $abla^2_w l$ 。有两种方法，方法一：先对每个样本求导，然后相加；方法二：定义矩阵 $X = egin{bmatrix}oldsymbol{x}_1^T \ vdots \ oldsymbol{x}_n^T end{bmatrix}$ ，向量 $oldsymbol{y} = egin{bmatrix}y_1 \ vdots \ y_nend{bmatrix}$ ，将 $l$ 写成矩阵形式 $l = -oldsymbol{y}^T Xoldsymbol{w} + oldsymbol{1}^Tlog(oldsymbol{1} + exp(Xoldsymbol{w}))$ ，进而可以求得 $abla_oldsymbol{w} l = X^T(sigma(Xoldsymbol{w}) - oldsymbol{y})$ ， $abla_w^2 l = X^T ext{diag}(sigma'(Xoldsymbol{w}))X$ 。

例5【多元logistic回归】： $l = -oldsymbol{y}^Tlog ext{softmax}(Woldsymbol{x}) = -oldsymbol{y}^TWoldsymbol{x} + log(oldsymbol{1}^Texp(Woldsymbol{x}))$ ，求 $abla_W l$ 和 $abla^2_W l$ 。

解：上篇例3中已求得 $abla_W l = ( ext{softmax}(Woldsymbol{x})-oldsymbol{y})oldsymbol{x}^T$ 。为求 $abla^2_W l$ ，先求微分：定义 $oldsymbol{a} = Woldsymbol{x}$ ， $d ext{softmax}(oldsymbol{a}) = frac{exp(oldsymbol{a})odot doldsymbol{a}}{oldsymbol{1}^Texp(oldsymbol{a})} - frac{exp(oldsymbol{a}) (oldsymbol{1}^T(exp(oldsymbol{a})odot doldsymbol{a}))}{(oldsymbol{1}^Texp(oldsymbol{a}))^2}$ ，这里需要化简去掉逐元素乘法，第一项中 $exp(oldsymbol{a})odot doldsymbol{a} = ext{diag}(exp(oldsymbol{a})) doldsymbol{a}$ ，第二项中 $oldsymbol{1}^T(exp(oldsymbol{a})odot doldsymbol{a}) = exp(oldsymbol{a})^Tdoldsymbol{a}$ ，故有 $d ext{softmax}(oldsymbol{a}) = ext{softmax}'(oldsymbol{a})doldsymbol{a}$ ，其中 $ext{softmax}'(oldsymbol{a}) = frac{ ext{diag}(exp(oldsymbol{a}))}{oldsymbol{1}^Texp(oldsymbol{a})} - frac{exp(oldsymbol{a})exp(oldsymbol{a})^T}{(oldsymbol{1}^Texp(oldsymbol{a}))^2}$ ，代入有 $d abla_W l = ext{softmax}'(oldsymbol{a})doldsymbol{a}oldsymbol{x}^T = ext{softmax}'(Woldsymbol{x})dW oldsymbol{x}oldsymbol{x}^T$ ，做向量化并使用矩阵乘法的技巧，得到 $abla^2_W l = (oldsymbol{x}oldsymbol{x}^T) otimes ext{softmax}'(Woldsymbol{x})$ 。

最后做个总结。我们发展了从整体出发的矩阵求导的技术，导数与微分的联系是计算的枢纽，标量对矩阵的导数与微分的联系是 $df = mathrm{tr}( abla_X^T f dX)$ ，先对f求微分，再使用迹技巧可求得导数，特别地，标量对向量的导数与微分的联系是 $df = abla_{oldsymbol{x}}f^T doldsymbol{x}$ ；矩阵对矩阵的导数与微分的联系是 $mathrm{vec}(dF) = frac{partial F}{partial X}^T mathrm{vec}(dX)$ ，先对F求微分，再使用向量化的技巧可求得导数，特别地，向量对向量的导数与微分的联系是 $doldsymbol{f} = frac{partial oldsymbol{f}}{partial oldsymbol{x}}^Tdoldsymbol{x}$ 。

参考资料：
1. 张贤达. 矩阵分析与应用. 清华大学出版社有限公司, 2004.
2. Fackler, Paul L. "Notes on matrix calculus." North Carolina State University(2005).
3. Petersen, Kaare Brandt, and Michael Syskind Pedersen. "The matrix cookbook." Technical University of Denmark 7 (2008): 15.
4. HU, Pili. "Matrix Calculus: Derivation and Simple Application." (2012).
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