考虑Schrodinger方程
\[i\partial_t u+\Delta u=0, \quad u(x,0)=f\]
其中$(x,t)\in \mathbf{R}^d\times \mathbf{R}$. 记$S(t)=e^{it\Delta}=\mathscr{F}^{-1}e^{it|\xi|^2}\mathscr{F}$, 则Schrodinger方程的解可以写成$u=S(t)f$. 一个著名的时空范数估计是Strichartz估计: 假设$f$的Fourier变换支在带形$\{\xi: 1\leq |\xi|\leq 2\}$
\[\|S(t)f\|_{L_t^qL_x^r(\mathbf{R}^d\times \mathbf{R})}\leq C\|f\|_{L^2}. \qquad (1)\]
(1)在Schrodinger方程的研究中起着十分基础的作用, (1)成立的最佳范围目前已经清楚, 有如下的定理(端点有Keel-Tao得到)
定理1: (1)成立当且仅当$2\leq q,r\leq \infty$, $1/q\leq d/2(1/2-1/r)$, $(q,r,d)\ne (2,\infty, 2)$.
然而在径向情形, 即假设$f$径向对称, (1)成立的范围可以更广, 最佳的范围目前除了一个端点以外都已经清楚,
定理2: 若$d\geq 2, 2\leq q,r\leq \infty$, $1/q\leq (d-1/2)(1/2-1/r)$, $(q,r)\ne (2,\frac{4d-2}{2d-3})$, 则(1)在径向情形成立.
定理2的证明可以参考我和王玉昭的文章, 以及Ke, Cho-Lee等人的文章. 在我们的文章中, 我们提出了如下的端点问题:
Claim: $d\geq 2, (q,r)=(2,\frac{4d-2}{2d-3})$, (1)在径向情形成立.
提出这个Claim的动机完全是由于非径向情形的端点Strichartz估计的成立, 我们没有更多的理由来支持. 这个径向的端点, 似乎比非径向端点要困难, Keel-Tao的办法可能不能直接解决这个问题.