考虑Schrodinger方程
\[i\partial_t u+\Delta u=0, \quad u(x,0)=f\]
其中$(x,t)\in \mathbf{R}^d\times \mathbf{R}$. 记$S(t)=e^{it\Delta}=\mathscr{F}^{-1}e^{it|\xi|^2}\mathscr{F}$, 则Schrodinger方程的解可以写成$u=S(t)f$. 一个著名的时空范数估计是Strichartz估计: 假设$f$的Fourier变换支在带形$\{\xi: 1\leq |\xi|\leq 2\}$
\[\|S(t)f\|_{L_t^qL_x^r(\mathbf{R}^d\times \mathbf{R})}\leq C\|f\|_{L^2}. \qquad (1)\]
在我们最新的一篇文章中(Z. Guo, S. Lee, K. Nakanishi, C. Wang, Generalized Strichartz estimates and scattering for 3D Zakharov system), 见arxiv, 我们考察了如下的广义Strichartz估计: 假设$f$的Fourier变换支在带形$\{\xi: 1\leq |\xi|\leq 2\}$
\[\|S(t)f\|_{L_t^qL_\rho^r(r^{n-1}dr)L_w^2}\leq C\|f\|_{L^2}. \qquad (2)\]
其中$L_\rho^r(r^{n-1}dr)L_w^2$表示将$L^p$型空间, 用球坐标$x=\rho w$, 先关于$w$取$L^2$, 然后再关于$\rho$取$L^r(r^{n-1}dr)$.
这中类型的估计首先由Tao研究, 他考察了Schrodinger方程在2维端点的估计.
在文章中, 我们得到了(2)的一些估计, 比Strichartz估计的范围要广, 这对3D Zakharov的散射的应用至关重要.
问题: (2)成立的最佳范围是什么?