一个自由质点的位置在空间中的位置需要三个坐标确定，一个质点系里面若有n个质点，当然就需要3n个坐标确定了。
也就是说一个包含n个质点的质点系的位形对应了3n维空间中的一个点，在这3n维空间中取定一组线性无关的基底，则
这3n维空间中的一点就对应某时刻质点系的一个位形。
但是一般而言，质点系都会受到约束，使得这3n个坐标不能独立地变动。设有s个完整约束，那么可以独立变动的坐标
就只剩下 k=3n-s 个，叫做自由度。这k个坐标不一定只取直角坐标系下的分量，可以灵活选取，如角度，距离等，我们
把选取的这k个能够确定质点系在约束下的位形的相互独立的坐标叫做广义坐标。
要注意的是后面我们可以选取不独立的广义坐标，然后在拉格朗日方程中是带约束的。
还要注意的是对非完整约束，因为是对速度有约束，所以独立的坐标变分数只有k=3n-s-m个，只有k个自由度，m是质点系
受到的非完整约束个数。自由度的定义是独立的坐标变分数，对完整约束，独立的坐标变分数和独立的坐标数相等。
我们的目标是要找到这个受约束质点系（或称之为系统）的动力学方程，一般是关于时间变量的常微分方程组，求解这个
常微分方程组就可以得到坐标（或广义坐标）关于时间的显示表达式（或关系），那么系统的位形随时间的演变规律也就
知道了。
那么我们怎么得到系统的动力学方程呢？牛顿告诉我们，在每一时刻（或瞬时），质点系中的每个质点在主动力和约束力
作用下会有一个加速度，这个加速度可以由牛顿第二定律在已知外力（主动力和约束力）的情况下求出来：
$m_i a_i=F_i+R_i quad (i=1 sim N)$ (1)
我们希望把约束反力去掉，建立不出现约束反力的运动方程。把$F_i$分解成两部分：
$F_i=m_i a_i+R_i^{'}$ (2)
$m_i a_i$ 是改变质点运动状态的有效力，$R_i^{'}$是对改变运动状态不起作用的损失力，显然损失力和约束反力相平衡：
$R_i^{'}+R_i=0$ (3)
接着要引入理想约束的假设，这是分析力学的基本假设，理想约束是指约束反力在虚位移上做功的和为零：
$sum_{i=1}^{N}{R_idelta r_i}=0$ (4)
注意是只要求功的和（或净功 net virtual work）为零，而不用要求对每个质点受到的约束反力与虚位移方向垂直。关于这点可看参考文献[2]。
正是因为有理想约束的假设，我们要在方程中消去未知约束反力，可以从做功的角度出发。
要注意的是在有摩擦存在时，摩擦力做功肯定不等于零，这时可以把摩擦力放在主动力$F_i$中。
由(3)和(4)可得到D'Alembert-Lagrange方程，又叫动力学普遍方程：
$sum_{i=1}^{N}{R_i^{'}delta r_i}=sum_{i=1}^{N}{(F_i-m_i a_i)delta r_i}=0$ (5)
上面是适用于动力学的D'Alembert's principle，当 $a_i=0$ 时，变为适用于静力学的principle of virtual work。
动力学普遍方程只用到理想约束的假设，所以既适用于完整约束也适用于非完整约束，既适用于定常约束，也适用于
非定常约束。
将(5)用另一种形式表达，得到普遍的中心方程。作如下变化：
$m_i a_i delta r_i=m_i frac{dv_i}{dt} delta r_i=frac{d}{dt}(m_i v_i delta r_i)-m_i v_i frac{d}{dt}(delta r_i)=frac{d}{dt}(m_i v_i delta r_i)-m_i v_i delta v_i+m_i v_i (delta v_i-frac{d}{dt}(delta r_i))$ (6)
(6)中
$v_i delta v_i=frac{1}{2}delta (v_i v_i)=frac{1}{2} delta v_i^2$ (7)
将上述变化代入动力学普遍方程(5)得到：
$frac{d}{dt}sum_{i=1}^{N}(m_i v_i delta r_i)=delta frac{1}{2}sum_{i=1}^{N}{m_i v_i^2}+sum_{i=1}^{N}{F_i delta r_i}+sum_{i=1}^{N}{m_i v_i (frac{d}{dt}(delta r_i)-delta v_i)}$
上式中等式右端第一项是动能的变分$delta T$，第二项是主动力的虚功$delta W$，因此可表示为下面的普遍的中心方程：
$frac{d}{dt}sum_{i=1}^{N}(m_i v_i delta r_i)=delta T+delta W+sum_{i=1}^{N}{m_i v_i (frac{d}{dt}(delta r_i)-delta v_i)}$
对于只受完整约束的系统，由于微分和变分可以交换次序，等式右端第三项可以消去，得到中心方程（不普遍），因为只适用于完整系统，不适用于非完整系统。
Lagrange方程是用广义坐标表示的普遍中心方程。
$T=sum_{i=1}^{N}frac{1}{2}m_i v_i v_i, quad quad frac{partial T}{partial dot{q_j}}=sum_{i=1}^{N}{m_i frac{partial v_i}{partial q_j}}=$
参考文献：
[1]《分析力学》 黄昭度 纪辉玉
[2] "Ideal Constraints - A Warning Note " by Antonio S de Castro