马尔科夫过程的CKS方程的推导

概率论中的Chapman-Kolmogorov方程（或CKS方程）是指：https://en.wikipedia.org/wiki/Chapman%E2%80%93Kolmogorov_equation

$p_{n-1}(x_{n-1},t_{n-1};ldots;x_2,t_2;x_1,t_1)=int{p_n(x_n,t_n;x_{n-1},t_{n-1};ldots;x_2,t_2;x_1,t_1)dx_n}$

其中被积量$x_{n}$叫作nuisance variable。

而对于Markov process，根据定义有：

$p_3(x_2,t_2;x,t;x_1,t_1)=q(x_2,t_2|x,t)q(x,t|,x_1,t_1)p(x_1,t_1)$    (1)

对(1)关于变量x积分，可得：

$p_2(x_2,t_2;x_1,t_1)=p(x_1,t_1)int{q(x_2,t_2|x,t)q(x,t|x_1,t_1)dx}$   (2)

这里$x$是nuisance variable。

而(2)中等式左边的二阶联合概率密度根据条件概率的定义可写成：

$p_2(x_2,t_2;x_1,t_1)=q(x_2,t_2|x_1,t_1)p(x_1,t_1)$    (3)

比较(2)和(3)可以推出Markov过程的CKS方程：

$q(x_2,t_2|x_1,t_1)=int{q(x_2,t_2|x,t)q(x,t|x_1,t_1)dx}$  (4)

Markov过程的CKS方程是支配转移概率密度的积分方程，或者说转移概率密度必须满足的协调条件（compatibility condition）。