P4593 [TJOI2018]教科书般的亵渎(拉格朗日插值）

题目描述

小豆喜欢玩游戏，现在他在玩一个游戏遇到这样的场面,每个怪的血量为aia_iai​，且每个怪物血量均不相同，小豆手里有无限张“亵渎”。亵渎的效果是对所有的怪造成111点伤害，如果有怪死亡，则再次施放该法术。我们认为血量为000怪物死亡。

小豆使用一张 “亵渎”会获得一定的分数，分数计算如下，在使用一张“亵渎”之后，每一个被亵渎造成伤害的怪会产生xkx^kxk,其中xxx是造成伤害前怪的血量为xxx和需要杀死所有怪物所需的“亵渎”的张数kkk。

输入输出格式

输入格式：

第一行输入一个TTT(T≤10Tleq10T≤10)，表示有多少组测试数据

每组组测试数据第一行为nnn，mmm，表示有当前怪物最高的血量nnn，和mmm种没有出现的血量

接下来mmm行，每行111个数aia_iai​，表示场上没有血量为aia_iai​的怪物

输出格式：

一共TTT行，每行一个数， 第iii行表示第iii组测试数据中小豆的最后可以获得的分数, 因为这个分数会很大需要模109+710^9+7109+7

输入输出样例

输入样例#1： 复制

2
10 1
5
4 2
1
2

输出样例#1： 复制

415
135

说明

对于10%10\%10%的数据，有m=0m=0m=0

对于20%20\%20%的数据，有m≤1mleq1m≤1

对于30%30\%30%的数据，有m≤2mleq2m≤2

对于40%40\%40%的数据，有m≤3mleq3m≤3

对于50%50\%50%的数据，有m≤4mleq4m≤4

对于60%60\%60%的数据，有m≤5mleq5m≤5

对于100%100\%100%的数据，有m≤50mleq50m≤50

对于100%100\%100%的数据，有n≤1013nleq10^{13}n≤1013。

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出题的是个sb，题意都说不清楚，醉了。

这题的最后答案的柿子很好写，这里就不说，关键就是如何求自然数幂和，

比如sigmg （i^(m))   这里是i的m次方，那和函数应该是一个m+1次的函数，那需要m+2点去

确定这个多项式。

然后若果x坐标是连续的，那可以先把所有的乘起来，在除以每一个对应的逆元，

对于分母，可以预处理阶乘，

特判一个分母的正负

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---

---

---

‘’

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define LL long long
#define re register
#define maxn
const LL mod=1e9+7;
inline LL read() {
    LL x=0;char c=getchar();while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();return x;
}
int T;
LL n,m,fac[55],a[55];
inline LL quick(LL a,LL b) {LL S=1;while(b) {if(b&1ll) S=S*a%mod;b>>=1ll;a=a*a%mod;}return S;}
inline LL calc(LL n,int m) {
    if(n<=m+2) {
        LL ans=0;
        for(re int i=1;i<=n;i++) ans=(ans+quick(i,m)%mod)%mod;
        return ans;
    }
    LL ans=1,now=0,tot=0;
    for(re int i=1;i<=m+2;i++)
        ans=(ans*(n-i+mod)%mod)%mod;
    for(re int i=1;i<=m+2;i++) {
        now=now+quick(i,m);now%=mod;
        LL t=ans*quick((n-i+mod)%mod,mod-2)%mod,q=quick(fac[m+2-i]*fac[i-1]%mod,mod-2);
        if((m+2-i)&1) tot-=now*t%mod*q%mod;
            else tot+=now*t%mod*q%mod;
        tot+=mod;tot%=mod;
    }
    return tot;
}
int main() {
    T=read();fac[0]=1;
    for(re int i=1;i<=54;i++) fac[i]=(fac[i-1]*(LL)i)%mod;
    while(T--) {
        n=read(),m=read();
        for(re int i=1;i<=m;i++) a[i]=read();
        std::sort(a+1,a+m+1);
        LL ans=0;
        for(re int i=0;i<=m;i++) {
            ans+=calc(n-a[i],m+1);ans%=mod;
            for(re int j=i+1;j<=m;j++)
                ans=(ans-quick(a[j]-a[i],m+1)%mod+mod)%mod;
        }
        printf("%lld
",ans);
    }
    return 0;
}

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define LL long long
#define re register
#define maxn
const LL mod=1e9+7;
inline LL read() {
    LL x=0;char c=getchar();while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();return x;
}
int T;
LL n,m,fac[55],a[55];
inline LL quick(LL a,LL b) {LL S=1;while(b) {if(b&1ll) S=S*a%mod;b>>=1ll;a=a*a%mod;}return S;}
inline LL calc(LL n,int m) {
    if(n<=m+2) {
        LL ans=0;
        for(re int i=1;i<=n;i++) ans=(ans+quick(i,m)%mod)%mod;
        return ans;
    }
    LL ans=1,now=0,tot=0;
    for(re int i=1;i<=m+2;i++)
        ans=(ans*(n-i+mod)%mod)%mod;
    for(re int i=1;i<=m+2;i++) {
        now=now+quick(i,m);now%=mod;
        LL t=ans*quick((n-i+mod)%mod,mod-2)%mod,q=quick(fac[m+2-i]*fac[i-1]%mod,mod-2);
        if((m+2-i)&1) tot-=now*t%mod*q%mod;
            else tot+=now*t%mod*q%mod;
        tot+=mod;tot%=mod;
    }
    return tot;
}
int main() {
    T=read();fac[0]=1;
    for(re int i=1;i<=54;i++) fac[i]=(fac[i-1]*(LL)i)%mod;
    while(T--) {
        n=read(),m=read();
        for(re int i=1;i<=m;i++) a[i]=read();
        std::sort(a+1,a+m+1);
        LL ans=0;
        for(re int i=0;i<=m;i++) {
            ans+=calc(n-a[i],m+1);ans%=mod;
            for(re int j=i+1;j<=m;j++)
                ans=(ans-quick(a[j]-a[i],m+1)%mod+mod)%mod;
        }
        printf("%lld
",ans);
    }
    return 0;
}