E. Product Oriented Recurrence
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256 megabytesinput
standard inputoutput
standard outputLet fx=c2x−6⋅fx−1⋅fx−2⋅fx−3
You have given integers nn , f1f1 , f2f2 , f3f3 , and cc . Find fnmod(109+7)fnmod(109+7) .
Input
The only line contains five integers nn , f1f1 , f2f2 , f3f3 , and cc (4≤n≤10184≤n≤1018 , 1≤f11≤f1 , f2f2 , f3f3 , c≤109c≤109 ).
Output
Print fnmod(109+7)fnmod(109+7) .
Examples
Input
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5 1 2 5 3
Output
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72900
Input
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17 97 41 37 11
Output
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317451037
Note
In the first example, f4=90f4=90 , f5=72900f5=72900 .
In the second example, f17≈2.28×1029587f17≈2.28×1029587 .
矩阵快速幂使用来加速加法的运算
而这个题目给的是乘法
所以要看看式子可不可与搞加法的样子
答案可以写成
ans = c的幂 * f1的幂 * f2的幂 * f3的幂
现在要全球的就是四个数的指数
显然是构造矩阵然后快速幂递推吧，然后就1e9+7是个质数
因此所有的指数都可以mod phi（1e9+7）
1 #include"bits/stdc++.h"
2 using namespace std;
3 #define int long long
4 const int N = 5;
5 const int mod = 1e9+7;
6 struct Mat
7 {
8 int a[6][6];
9 Mat (){memset(a,0,sizeof a);}
10
11 };
12
13 inline Mat mul(Mat a,Mat b,int mod )
14 {
15 Mat c;
16 for(int i=1;i<=N;i++)
17 {
18 for(int j=1;j<=N;j++)
19 {
20 for(int k=1;k<=N;k++)
21 {
22 c.a[i][j] +=a. a[i][k]*b.a[k][j];
23 c.a[i][j] %= mod;
24 }
25
26
27 }
28 }return c;
29 }
30 inline int ksm(int a,int b,int p)
31 {
32 int ans = 1; a%=p;
33 for(;b;b>>=1,a*=a,a%=p)if(b&1)ans*=a,ans%=p;
34 return ans;
35 }
36 int n,f1,f2,f3,c;
37
38 signed main()
39 {
40 Mat base;
41 base.a[1][1]=0;
42 base.a[1][2]=0;
43 base.a[1][3]=0;
44 base.a[1][4]=1;
45 base.a[1][5]=4;
46
47 Mat t;
48 t.a[1][1]=1; t.a[1][2]=1;
49 t.a[2][1]=t.a[2][3]=1;
50 t.a[3][1]=1;
51 t.a[4][1]=-6; t.a[4][4]=t.a[4][5]=1;
52 t.a[5][1]=2,t.a[5][5]=1;
53
54 cin>>n; n-=3;
55 cin>>f1>>f2>>f3>>c;
56 Mat ans;
57 for(int i=1;i<=5;i++)ans.a[i][i]=1;
58 int b=n;
59
60 b=n;
61 for(;b;b>>=1,t=mul(t,t,1e9+6))if(b&1)ans=mul(ans,t,1e9+6);
62 base=mul(base,ans,1e9+6);
63 //cout<<base.a[1][1];
64 int Ans = ksm(c,base.a[1][1],mod);
65 // cout<<Ans<<endl;
66 memset(t.a,0,sizeof t.a);
67 memset(base.a,0,sizeof base.a);
68 memset(ans.a,0,sizeof ans.a);
69
70 // f1
71 for(int i=1;i<=5;i++)ans.a[i][i]=1;
72 base.a[1][1]=0;
73 base.a[1][2]=0;
74 base.a[1][3]=1;
75 t.a[1][1]=1; t.a[1][2]=1;
76 t.a[2][1]=t.a[2][3]=1;
77 t.a[3][1]=1;
78 b=n;
79 for(;b;b>>=1,t=mul(t,t,1e9+6))if(b&1)ans=mul(ans,t,1e9+6);
80 base=mul(base,ans,1e9+6);
81 Ans *= ksm(f1,base.a[1][1],mod); Ans %= mod;
82 // cout<<base.a[1][1]<<endl;
83 memset(t.a,0,sizeof t.a);
84 memset(base.a,0,sizeof base.a);
85 memset(ans.a,0,sizeof ans.a);
86
87
88 //f2
89 for(int i=1;i<=5;i++)ans.a[i][i]=1;
90 base.a[1][1]=0;
91 base.a[1][2]=1;
92 base.a[1][3]=0;
93 t.a[1][1]=1; t.a[1][2]=1;
94 t.a[2][1]=t.a[2][3]=1;
95 t.a[3][1]=1;
96 b=n;
97 for(;b;b>>=1,t=mul(t,t,1e9+6))if(b&1)ans=mul(ans,t,1e9+6);
98 base=mul(base,ans,1e9+6);
99 Ans *= ksm(f2,base.a[1][1],mod); Ans %= mod;
100 // cout<<base.a[1][1]<<endl;
101
102 memset(t.a,0,sizeof t.a);
103 memset(base.a,0,sizeof base.a);
104 memset(ans.a,0,sizeof ans.a);
105
106 // f3
107
108 for(int i=1;i<=5;i++)ans.a[i][i]=1;
109 base.a[1][1]=1;
110 base.a[1][2]=0;
111 base.a[1][3]=0;
112 t.a[1][1]=1; t.a[1][2]=1;
113 t.a[2][1]=t.a[2][3]=1;
114 t.a[3][1]=1;
115 b=n;
116 for(;b;b>>=1,t=mul(t,t,1e9+6))if(b&1)ans=mul(ans,t,1e9+6);
117 base=mul(base,ans,1e9+6);
118 Ans *= ksm(f3,base.a[1][1],mod); Ans %= mod;
119 // cout<<base.a[1][1]<<endl;
120
121
122 cout<<Ans;
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132 }