《DirectX 9.0 3D游戏开发编程基础》必备的数学知识 读书笔记

最近在看游戏导航源码，但是看了几天感觉看不懂。里面全是一些几何运算,以及一些关于3d方面的知识。发现自己缺少3d这方面的知识，正好也想研究一下3d游戏开发的基本原理，于是决定买本书看看了，后来在opengl和directx要选择一个，感觉directX是微软的，就选了directx。

必备的数学知识

3D空间中的向量

几何学中一个有向线段表示，向量两个重要属性：长度、方向

向量不含有位置信息，如果向量的长度和方向相等即相等  。

左手直角坐标系和右手直角坐标系：左手直角坐标系z轴正方向穿进纸面，右手直角坐标系中z轴正方向穿出纸面。

向量处于标准位置：当某一向量起始端与坐标原点重合时。这样我们可以用向量的终点坐标来描述一个处于标准位置的向量。用于描述向量的坐标称为分量(component)

注意：由于标准位置中的向量都是用终点来表示的，因此点和向量很容易混淆。所以再次重申：点只是描述位置而向量描述了长度和方向

向量的表示：u=(ux,uy),N=(Nx,Ny,Nz) 通常用小写（有时也用大写）粗体字母来表示

四个特殊的3d向量：

1. 零向量：其所有分量都为0用粗体0来表示 0 = (0,0,0)
2. 其余三个向量称为R3的标准向量。这些向量分别为i,j,k方向，方向分别与x,y,z轴一致，且长度均为1：i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1)

在D3DX库中，我们用类D3DXVECTOR3表示3d空间的向量。

向量相等

如果向量和长度方面相等，那么相等。

D3DXVECTOR u(1.0f,0.0f,1.0f);

D3DXVECTOR v(0.0f,1.0f,1.0f);

if(u == v) return true

向量计算长度

FLOATＤ３ＤＸＶｅｃ３Ｌｅｎｇｔｈ（CONST D3DXVECTOR3 * pV）;

向量的规范化

向量的规范化就是使向量的模变为1.即变为单位向量。可以通过将向量的每个分量都除向量的模来实现 。

D3DXVECTOR3 * D3DXVec3Normalize(D3DXVECTOR3 * pOut)

向量的相加

几何学上的向量相加

D3DXVECTOR3 u(2.0f, 0.0f, 1.0f);
D3DXVECTOR3 v(0.0f, -1.0f, 5.0f); // (2.0 + 0.0, 0.0 + (-1.0), 1.0 + 5.0)
D3DXVECTOR3 sum = u + v; // = (2.0f, -1.0f, 6.0f)

向量减法：

D3DXVECTOR3 u(2.0f, 0.0f, 1.0f);
D3DXVECTOR3 v(0.0f, -1.0f, 5.0f);
D3DXVECTOR3 difference = u - v; // = (2.0f, 1.0f, -4.0f)

数乘（标量与向量的乘积）

标量可以与向量相乘，顾名思义，该运算可对向量进行缩放。该运算不改变向量的方向，除非该向量与负数相乘，这是向量的方向与原来的方面相反 。

D3DXVECTOR3 u(1.0f, 1.0f, -1.0f);

D3DXVECTOR3 scaledVec = u * 10.0f; // = (10.0f, 10.0f, -10.0f)

点积（两个向量的乘积）

如果u和v都是单位向量则v*u就等于u,v夹角的余弦。

下面是点积的一些有用的性质：

1. 若u*v=0 则u⊥v
2. 若u*v>0 则两向量之间的夹角小于90度
3. 若u*v<0 则两向量之间的夹角大于90度

FLOAT D3DXVec3Dot( // Returns the result.
CONST D3DXVECTOR3* pV1, // Left sided operand.
CONST D3DXVECTOR3* pV2 // Right sided operand.
);

叉积

与点积不同的是，叉积的结果是另一个向量。如果取向量 u和v的差积，运算所得的向量p与v、u彼此正交，也就是p与u正交，也行v正交。

矩阵

一个m*n的矩阵是一个m行，n列的矩形数组。行数和列数指定了矩阵的维数。我们用双下标来标识矩阵元素，其中第一个下标为元素所在行的索引，第二个下标不元素成在列的索引。

有时一个矩阵仅包含单行或单列。这样的矩阵称为行向量或列向量，下面是一人行向量和列向量的例子。

矩阵相等、数乘、加法

• 相等：维数相同、对应元素相同。
• 数乘：一个标量与矩阵每一个元素相乘
• 相加：只有两个矩阵维数相同时，方可进行。加法就是对应元素相加所得的矩阵。
• 减法：与加法相似

矩阵乘法

前提条件：A的列数等于B的行数，故乘积AB是有意义的。请注意，如果交换相乘的次序为BA 便无意义，因为B的列数和 A的行数不相等

由此说明：一般情况下矩阵乘法不满足乘法交换律（也就是, AB≠BA）

定义：若A为m*n的矩阵，B为n*p的矩阵，则乘积AB有意义，且等于一个m*p矩阵C，其中乘积C的第ij个元素的值等于A的第i个行向量与B的第j个列向量的点积。

单位矩阵：

有一种特殊的矩阵为单位矩阵，单位矩阵的特点是除主对角线上的元素为1外，其余元素均为0，而且是方阵。

单位矩阵可以作为一个乘法单位：MI=IM=M

即：用一个单位矩阵与某个矩阵相乘，不改变该矩阵。而且，某一矩阵与单位矩阵相乘，

逆矩阵：

逆矩阵的重要信息

1. 只有方阵才能有逆矩阵，所以，当我们提到逆矩阵时，我们假定所关心的对象为方阵
2. 一个m*n矩阵M的逆矩阵也是一个n*m矩阵，用符号M^-1表示。
3. 并非所有方阵都有逆矩阵
4. 一个矩阵与其逆矩阵的乘积为单位阵。

一个性质：(AB)^-1 = B^-1 A^-1

矩阵的转置

通过交换矩阵行和列来实现M的矩阵用M^T表示

D3DX矩阵 

编写D3Dx应用程序时，我们通常只使用4*4的矩阵和1*4的行向量。注意这两种维数的矩阵，意味着如下矩阵乘法是有意义的。

1. 向量矩阵乘法
2. 矩阵矩阵乘法

基本变换

在Direct3D编程时，我们使用4*4的矩阵表示一个变换。其思路如下：

1. 设置一个4*4矩阵中元素的值
2. 然后我们将某一点的坐标或某一向量的分量放入一个1*4的行向量v中
3. 乘积vX就生成了一个新的经过变化的向量v’

平移矩阵

旋转矩阵

比例变换矩阵

几何变换的组合