[SCOI2016]妖怪（另类nlogn做法）

题意

题意

做法

前两种做法参考博客：https://www.luogu.com.cn/blog/ChenXingLing/solution-p3291

这里就不再赘述，不过需要提一下，第二种做法感觉有点问题的地方是：(k)应该在([k2,k1])范围内。（当然，仅仅个人观点，不一定正确）

然后我自己手艹出一个做法？

首先，已知对于((a,b))，可以化作((1,frac{b}{a}))的形式，不妨化为：((1,k))，这样，就顺利的化成了一个元的形式了。

那么对于一只妖怪，其战斗力函数为：(a+b+ak+frac{b}{k})。

不难发现，如果对于两个妖怪：(a_{1}≤a_2,b_1≤b_2)那么第一个妖怪绝对没有第二个妖怪好，此时，自动把第一个妖怪舍弃，然后再对于(a)进行升序排序，这样，妖怪就是(a)值递增，(b)值递减了。

考虑第一个妖怪在哪个大于第二个妖怪：
设(a'=a_{1}-a_{2},b'=b_{1}-b_{2})
那么不等式方程则为：
(a'k+frac{b'}{k}+a'+b'≥0)
(a'k^2+(a'+b')k+b'≥0)
(k∈[-1,0)∩(0,-frac{b'}{a'}])，由于(k>0)，所以(k∈(0,-frac{b'}{a'}])。

也就是说，第一个妖怪在这个区间都比第二个区间好。

那么只要我们能够找到这些妖怪各自的最强的区间，然后对他们的函数在他们区间中的最小值取最小值即可。

但是如何证明一个函数的(k)存在一个取值区间这个函数值大于其他的函数值呢？

再次证明一个东西：(frac{b_1-b_2}{a_1-a_2}>frac{b_1-b_3}{a_1-a_3})可以推导出：(frac{b_2-b_3}{a_2-a_3}<frac{b_{1}-b_2}{a_1-a_2})。
证明过程就是交叉相乘，后面发现两条式子可以化成一条式子，那么这条式子说明了什么了？下面设(A_i)为第一个函数，(jd())为交点，说明(jd(A_1,A_3)<jd(A_1,A_2))，那么(jd(A_2,A_3)<jd(A_1,A_2))，简单来说就是(A_2)的(k)不可能存在一个取值区间使得这个函数值大于其他函数值。

同理，只要用栈维护每个函数，弹出时判断与(A_1)的交点即可，然后(A_i)的(k)的取值区间则在：[(jd(A_{i-1},A_i)),(jd(A_{i},A_{i+1}))]范围内。

至于函数的最小值，额，直接均值不等式，这个不再多讲了。

时间复杂度：(O(nlogn))

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define  N  1100000
using  namespace  std;
template<class  T>
inline  T  mymin(T  x,T  y){return  x<y?x:y;}
template<class  T>
inline  T  mymax(T  x,T  y){return  x>y?x:y;}
int  n;
struct  node
{
	double  a,b;
	node(double  x=0,double  y=0){a=x;b=y;}
}a[N],b[N];int  m;
inline  node  operator-(node  x,node  y){return  node(x.a-y.a,x.b-y.b);}
inline  double  jd(node  x)//求交点
{
	return  -x.b/x.a;//(x.a)k^2+(x.a+x.b)k+x.b   k=-x.b/x.a（其中x.a<0,x.b>0）
}
inline  double  getval(node  x,double  k){return  x.a+x.b+x.a*k+x.b/k;}
inline  double  mmin(node  x,double  l,double  r)
{
	double  minx=sqrt(x.b/x.a),ans;//最小的数字 
	if(l<=minx  &&  minx<=r  ||  (l<=minx  &&  r<0))ans=minx;
	else  if(minx<l)ans=l;
	else  ans=r;
	return  getval(x,ans);
}
inline  bool  cmp(node  x,node  y){return  x.a==y.a?x.b>y.b:x.a<y.a;}
int  main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int  i=1;i<=n;i++)scanf("%lf%lf",&a[i].a,&a[i].b);
	sort(a+1,a+n+1,cmp);
	int  now=a[1].a;
	b[m=1]=a[1];
	for(int  i=2;i<=n;i++)
	{
		if(a[i].a!=now)
		{
			now=a[i].a;
			while(m  &&  b[m].b<=a[i].b)m--;//维护a单调递增，b单调递减
			while(m>1  &&  jd(b[1]-b[m])>=jd(b[1]-a[i]))m--;
			b[++m]=a[i];
		}
	}
	if(m==1)printf("%.4lf
",getval(b[1],sqrt(b[1].b/b[1].a)));
	else
	{
		double  ans=mymin(mmin(b[1],-1,jd(b[1]-b[2])),mmin(b[m],jd(b[m-1]-b[m]),-1));
		for(int  i=2;i<m;i++)ans=mymin(mmin(b[i],jd(b[i-1]-b[i]),jd(b[i]-b[i+1])),ans);
		printf("%.4lf
",ans);
	}
	return  0;
}