主成分分析法
主成分分析法：(Principle Component Analysis, PCA)，是一个非监督机器学习算法，主要用于数据降维，通过降维，可以发现便于人们理解的特征，其他应用：可视化和去噪等。
一、主成分分析的理解
先假设用数据的两个特征画出散点图，如果我们只保留特征1或者只保留特征2。那么此时就有一个问题，留个哪个特征比较好呢？
通过上面对两个特征的映射结果可以发现保留特征1比较好，因为保留特征1，当把所有的点映射到x轴上以后，点和点之间的距离相对较大，也就是说，拥有更高的可区分度，同时还保留着部分映射之前的空间信息。那么如果把点都映射到y轴上，发现点与点距离更近了，这不符合数据原来的空间分布。所以保留特征1相比保留特征2更加合适，但是这是最好的方案吗？
也就是说，我们需要找到让这个样本间距最大的轴？那么如何定义样本之间的间距呢？一般我们会使用方差（Variance），Var(x)=frac{1}{m}sum_{i=1}m(x_{i}-overline{x})2,找到一个轴，使得样本空间的所有点映射到这个轴的方差最大。
- 第一步：将样本进行均值归0，此时$Var(x)=frac{1}{m}sum_{i=1}m(x_{i})2$，此时计算过程就少一项，这就是为什么要进行样本均值归0。
- 第二步：需要定义一个轴的方向w=(w1, w2),使得我们的样本，映射到w以后，有：
Var(X_{project}) = frac{1}{m}sum_{i=1}m(X_{project}(i) - overline{x}{project})^2最大。其实括号中的部分是一个向量，更加准确的描述应该是Var(X{project}) = frac{1}{m}sum_{i=1}mlVertX_{project}(i) - overline{x}{project}lVert^2，因为前面已经去均值，所以，这里只需Var(X{project}) = frac{1}{m}sum_{i=1}mlVertX_{project}(i) lVert^2最大
X^{(i)} cdot w = lVert X^{(i)} lVert cdot lVert w lVert cdot cos heta
设w为单位向量，X^{(i)} cdot w = lVert X^{(i)} lVert cdot cos heta
最终，X^{(i)} cdot w = lVert X_{project}^{(i)} lVert
所以，最终只需Var(X_{project}) = frac{1}{m}sum_{i=1}^mlVert X^{(i)} cdot w lVert^2最大
目标：求w，使得Var(X_{project}) = frac{1}{m}sum_{i=1}^m( X^{(i)} cdot w )^2最大
Var(X_{project}) = frac{1}{m}sum_{i=1}^m( X_{1}^{(i)}w_{1} +X_{2}{(i)}w_{2}+dots+X_{n}{(i)}w_{n})^2
Var(X_{project}) = frac{1}{m}sum_{i=1}^m( X^{(i)} cdot w )^2
一个目标函数优化问题，使用梯度上升法解决。
二、使用梯度上升法求解PCA
首先生成一组数据：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
X = np.empty((100, 2))
X[:, 0] = np.random.uniform(0., 100., size=100)
X[:, 1] = 0.75 * X[:, 0] + 3. + np.random.normal(0., 10., size=100)
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1])
plt.show()
def demean(X):
# 不使用standardscale标准化数据，求解PCA需要方差，只去均值。
return X - np.mean(X, axis=0) # axis=0表示最终求得的均值是一个行向量，也就是说将每一列求和
x_demean = demean(X)
plt.scatter(x_demean[:,0], x_demean[:,1])
plt.show()
np.mean(x_demean[:,0])
np.mean(x_demean[:,1])
def f(w ,x):
return np.sum((x.dot(w) ** 2)) / len(x)
def df_math(w, x):
return x.T.dot(x.dot(w)) * 2. / len(x)
def df_denug(w, x, epsilon=0.0001):
res = np.empty(len(w))
for i in range(len(w)):
w_1 = w.copy()
w_1[i] += epsilon
w_2 = w.copy()
w_2[i] -= epsilon
res[i] = (f(w_1, x) - f(w_2, x)) / (2 * epsilon)
return res
def direction(w):
return w / np.linalg.norm(w)
def gradient_ascent(df, x, init_w, eta, n_iters=1e-4, epsilon=1e-8):
w = direction(init_w)
cur_iter = 0
while cur_iter < n_iters:
gradient = df(w, x)
last_w = w
w = w + eta * gradient
w = direction(w)
if (abs(f(w, x) - f(last_w, x)) < epsilon):
break
cur_iter += 1
return w
测试：
init_w = np.random.random(X.shape[1]) # 不能0向量开始
init_w
eta = 0.001
gradient_ascent(df_denug, x_demean, init_w, eta)
输出结果：array([0.84612666, 0.53298187])
w = gradient_ascent(df_math, x_demean, init_w, eta)
plt.scatter(x_demean[:, 0], x_demean[:,1])
plt.plot([0, w[0]*30], [0, w[1]*30], color='r')
plt.show()
这只是一个从2维降到1维的情况，但在实际应用中往往都不这么简单。
三、求数据的前n个主成分
求出第一主成分以后，如何求出下一个主成分？数据进行改变，将数据在第一个主成分上的分量去掉。然后在新的数据上求第一主成分。
第一步：先求出第一主成分
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
X = np.empty((100, 2))
X[:, 0] = np.random.uniform(0., 100., size=100)
X[:, 1] = 0.75 * X[:, 0] + 3. + np.random.normal(0., 10., size=100)
def demean(X):
return X - np.mean(X, axis=0)
X = demean(X)
plt.scatter(X[:,0], X[:,1])
plt.show()
def f(w ,x):
return np.sum((x.dot(w) ** 2)) / len(x)
def df(w, x):
return x.T.dot(x.dot(w)) * 2. / len(x)
def direction(w):
return w / np.linalg.norm(w)
def first_component(df, x, init_w, eta, n_iters=1e-4, epsilon=1e-8):
w = direction(init_w)
cur_iter = 0
while cur_iter < n_iters:
gradient = df(w, x)
last_w = w
w = w + eta * gradient
w = direction(w)
if (abs(f(w, x) - f(last_w, x)) < epsilon):
break
cur_iter += 1
return w
init_w = np.random.random(X.shape[1])
init_w
eta = 0.01
w = first_component(df, X, init_w, eta)
w
输出结果: array([0.71849226, 0.69553495])
第二步：去掉第一主成分
X2 = np.empty(X.shape)
for i in range(len(X)):
X2[i] = X[i] - np.dot(X[i], w) * w
# X2 = X - X.dot(w).reshape(-1, 1) * w
plt.scatter(X2[:,0], X2[:,1])
plt.show()
第三步：求第二主成分
init_w2 = np.random.random(X2.shape[1])
eta = 0.01
w2 = first_component(df, X2, init_w2, eta)
w2
输出结果: array([ 0.98482183, -0.17356834])
第四步：画出主成分
plt.scatter(X2[:,0], X2[:,1])
plt.plot([0, w[0]*30], [0, w[1]*30])
plt.plot([0, w2[0]*30], [0, w2[1]*30])
plt.show()
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
X = np.empty((100, 2))
X[:, 0] = np.random.uniform(0., 100., size=100)
X[:, 1] = 0.75 * X[:, 0] + 3. + np.random.normal(0., 10., size=100)
def demean(X):
return X - np.mean(X, axis=0)
X = demean(X)
def direction(w):
return w / np.linalg.norm(w)
def df(w, x):
return x.T.dot(x.dot(w)) * 2. / len(x)
def f(w ,x):
return np.sum((x.dot(w) ** 2)) / len(x)
ef gradient_ascent(df, x, init_w, eta, n_iters=1e-4, epsilon=1e-8):
w = direction(init_w)
cur_iter = 0
while cur_iter < n_iters:
gradient = df(w, x)
last_w = w
w = w + eta * gradient
w = direction(w)
if (abs(f(w, x) - f(last_w, x)) < epsilon):
break
cur_iter += 1
return w
def fisrt_n_component(n, x, eta=0.01, n_iters=1e-4, epsilon=1e-8):
x_pca = x.copy()
x_pca = demean(x_pca)
res = []
for i in range(n):
init_w = np.random.random(x_pca.shape[1])
w = gradient_ascent(df, x_pca, init_w, eta)
res.append(w)
x_pca = x_pca - x_pca.dot(w).reshape(-1, 1) * w
return res
fisrt_n_component(2, X)
输出结果：[array([0.75978266, 0.65017714]), array([ 0.96416996, -0.26528531])]
四、将高维数据向低维数据映射
假设有数据矩阵X，通过主成分分析法得到前k个主成分对应的轴的单位方向向量之后，我们就可以将数据从高维向低维映射，同样也可以从低维在映射回高维空间。
import numpy as np
class PCA(object):
def __init__(self, n_components):
assert n_components >= 1, "n_component must be valid"
self.n_components = n_components
self.components_ = None
def fit(self, x, eta=0.01, n_iters=1e-4):
assert self.n_components <= x.shape[1], "n_components must be greater than the feature number of x"
def demean(x):
return x - np.mean(x, axis=0)
def f(w, x):
return np.sum((x.dot(w) ** 2)) / len(x)
def df(w, x):
return x.T.dot(x.dot(w)) * 2. / len(x)
def direction(w):
return w / np.linalg.norm(w)
def gradient_ascent(df, x, init_w, eta, n_iters=1e-4, epsilon=1e-8):
w = direction(init_w)
cur_iter = 0
while cur_iter < n_iters:
gradient = df(w, x)
last_w = w
w = w + eta * gradient
w = direction(w)
if (abs(f(w, x) - f(last_w, x)) < epsilon):
break
cur_iter += 1
return w
x_pca = demean(x)
self.components_ = np.empty(shape=(self.n_components, X.shape[1]))
for i in range(self.n_components):
init_w = np.random.random(x_pca.shape[1])
w = gradient_ascent(df, x_pca, init_w, eta, n_iters)
self.components_[i, :] = w
x_pca = x_pca - x_pca.dot(w).reshape(-1, 1) * w
return self
def transform(self, x):
"将给定的x，映射到各个主成分分量中"
assert x.shape[1] == self.components_.shape[1]
return x.dot(self.components_.T)
def inverse_transform(self, x):
assert x.shape[1] == self.components_.shape[0]
return x.dot(self.components_)
def __repr__(self):
return "PCA(n_components=%d)" % self.n_components
if __name__ == '__main__':
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
X = np.empty((100, 2))
X[:, 0] = np.random.uniform(0., 100., size=100)
X[:, 1] = 0.75 * X[:, 0] + 3. + np.random.normal(0., 10., size=100)
pca = PCA(n_components=1)
pca.fit(X)
print(pca.components_)
x_reduction = pca.transform(X)
print(x_reduction.shape)
x_restore = pca.inverse_transform(x_reduction)
print(x_restore.shape)
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], color='b', alpha=0.5)
plt.scatter(x_restore[:, 0], x_restore[:, 1], color='r', alpha=0.5)
plt.show()
蓝色的点是随机初始生成，红色的点就是由pca降维之后，在从低维映射到高维的描述。其实完全可以只有一个轴来表示这些红色的点，也就完成了降维。
五、scikit-learn中的PCA
from sklearn.decomposition import PCA
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
X = np.empty((100, 2))
X[:, 0] = np.random.uniform(0., 100., size=100)
X[:, 1] = 0.75 * X[:, 0] + 3. + np.random.normal(0., 10., size=100)
def demean(X):
return X - np.mean(X, axis=0)
X = demean(X)
pca = PCA(n_components=1)
pca.fit(X)
pca.components_
输出结果：array([[-0.7896098, -0.6136093]])
x_reduction = pca.transform(X)
x_reduction.shape
x_restore = pca.inverse_transform(x_reduction)
x_restore.shape
plt.scatter(X[:,0], X[:,1], color='b', alpha=0.5)
plt.scatter(x_restore[:,0], x_restore[:,1], color='r', alpha=0.5)
plt.show()
接下来使用真实的数据集进行测试：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import datasets
from sklearn.model_selection import train_test_split
digits = datasets.load_digits()
x = digits.data
y = digits.target
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(x, y, test_size=0.2, random_state=666)
x_train.shape
接下来使用KNN先进行一个简单的测试：
%%time
from sklearn.neighbors import KNeighborsClassifier
knn_clf = KNeighborsClassifier()
knn_clf.fit(x_train, y_train)
输出结果：Wall time: 4.88 ms
knn_clf.score(x_test, y_test)
输出结果：0.9888888888888889
接下来使用降维：
from sklearn.decomposition import PCA
pca = PCA(n_components=2)
pca.fit(x_train)
#PCA(copy=True, iterated_power='auto', n_components=2, random_state=None,svd_solver='auto', tol=0.0, whiten=False)
x_train_reduction = pca.transform(x_train)
x_test_reduction = pca.transform(x_test)
%%time
knn_clf = KNeighborsClassifier()
knn_clf.fit(x_train_reduction, y_train)
输出结果：Wall time: 976 µs 相比降维之前速度快了很多。
knn_clf.score(x_test_reduction, y_test)
输出结果：0.6055555555555555,但是测试结果的准确率大打折扣。这是因为直接从64维降到2维，损失了太多信息。在sklearn中封装了一个函数，可以看出损失的详细信息。
pca.explained_variance_ratio_
输出结果：array([0.1450646 , 0.13714246])，可以看出这两个主成分分别损失了14.51%和13.71%，加和共损失28.22%。显然这不是想要的效果。
那么我们查看一个64个主成分分别损失情况：
pca = PCA(n_components=x_train.shape[1])
pca.fit(x_train)
pca.explained_variance_ratio_
输出结果：
array([1.45064600e-01, 1.37142456e-01, 1.19680004e-01, 8.43768923e-02,
5.87005941e-02, 5.01797333e-02, 4.34065700e-02, 3.61375740e-02,
3.39661991e-02, 3.00599249e-02, 2.38906921e-02, 2.29417581e-02,
1.81335935e-02, 1.78403959e-02, 1.47411385e-02, 1.41290045e-02,
1.29333094e-02, 1.25283166e-02, 1.01123057e-02, 9.08986879e-03,
8.98365069e-03, 7.72299807e-03, 7.62541166e-03, 7.09954951e-03,
6.96433125e-03, 5.84665284e-03, 5.77225779e-03, 5.07732970e-03,
4.84364707e-03, 4.34595748e-03, 3.73352381e-03, 3.57655938e-03,
3.30727680e-03, 3.18129431e-03, 3.06969704e-03, 2.89170006e-03,
2.51205204e-03, 2.27743660e-03, 2.22760483e-03, 2.00065017e-03,
1.89529684e-03, 1.56877138e-03, 1.42740894e-03, 1.39115781e-03,
1.20896097e-03, 1.10149976e-03, 9.81702199e-04, 8.82376601e-04,
5.69898729e-04, 4.10322729e-04, 2.32125043e-04, 8.49807543e-05,
5.37426557e-05, 5.27990816e-05, 1.03398093e-05, 6.20749843e-06,
5.03430895e-06, 1.15881302e-06, 1.09689390e-06, 5.51564753e-07,
5.65215369e-08, 1.78867947e-33, 8.83490979e-34, 8.55393580e-34])
从上面结果可以看出，64个主成分损失从大到小排列，最大14.5%，最小8.55393580e-34可以忽略不计。接下来使用曲线图绘制一下：
plt.plot([i for i in range(x_train.shape[1])],
[np.sum(pca.explained_variance_ratio_[:i+1]) for i in range(x_train.shape[1])])
plt.show()
从图中，可以大概看出当降到30维的时候，保留信息大概在96%左右，因此可以考虑降到30为左右比较合适，既能保证精度又能保证速度。其实，sklearn中已经封装好了能够实现类似功能。
pca = PCA(0.95)
pca.fit(x_train)
pca.n_components_
输出结果：28,可以发现当损失信息为5%时，可以将数据从64维降到28维。
x_train_reduction = pca.transform(x_train)
x_test_reduction = pca.transform(x_test)
%%time
knn_clf = KNeighborsClassifier()
knn_clf.fit(x_train_reduction, y_train)
输出结果：Wall time: 2.93 ms
knn_clf.score(x_test_reduction, y_test)
输出结果：0.9833333333333333
对比降维前后：
- 时间上，降维前：Wall time: 4.88 ms，降维后：Wall time: 2.93 ms
- 精度上，降维前：0.9888888888888889，降维后0.9833333333333333
通过以上对比，可以发现在精度损失0.5%的情况下速度能提高一倍。这是一个比较的维度，如果维度很大，效果会更加优秀。
在整个测试的过程中，曾尝试把数据降到2维，精度损失很大，但并不能说明这样做没有意义，通常情况下，我们会将高维数据降到3维或者2维进行可视化。
pca = PCA(n_components=2)
pca.fit(x)
x_reduction = pca.transform(x)
x_reduction.shape
for i in range(10):
plt.scatter(x_reduction[y==i, 0], x_reduction[y==i, 1], alpha=0.8)
plt.show()
通过对数据进行可视化，可以发现有蓝色、红色、紫色这些点在降到2维的情况下，依旧可以实现很高的识别度。这说明这些样本在原来的高维空间中差异就比较大。所以，一般会将数据进行可视化，进行一些简单的分析。
六、对真实数据集MNIST使用PCA
首先下载MNIST数据集的时候有个坑？
import numpy as np
from sklearn.datasets import fetch_mldata
mnist = fetch_mldata("MNIST original", data_home='./datasets')
如果直接运行会一直报错，反正就是下载不下来，但是会在datasets目录下生成一个文件夹，./datasets/mldata。所以需要下载数据集放在这个文件夹下，再次运行就可以了。
数据集地址：
链接：https://pan.baidu.com/s/15k6Sykf5TICN40KeEc6xgQ
提取码：ujrq
mnist
{'DESCR': 'mldata.org dataset: mnist-original',
'COL_NAMES': ['label', 'data'],
'target': array([0., 0., 0., ..., 9., 9., 9.]),
'data': array([[0, 0, 0, ..., 0, 0, 0],
[0, 0, 0, ..., 0, 0, 0],
[0, 0, 0, ..., 0, 0, 0],
...,
[0, 0, 0, ..., 0, 0, 0],
[0, 0, 0, ..., 0, 0, 0],
[0, 0, 0, ..., 0, 0, 0]], dtype=uint8)}
x, y = mnist['data'], mnist['target']
x.shape
y.shape
输出结果：(70000, 784) (70000,)
x_train = np.array(x[:60000], dtype=float)
y_train = np.array(y[:60000], dtype=float)
x_test = np.array(x[60000:], dtype=float)
x_test = np.array(y[60000:], dtype=float)
from sklearn.neighbors import KNeighborsClassifier
knn_clf = KNeighborsClassifier()
%time knn_clf.fit(x_train, y_train)
输出结果：
Wall time: 28 s
KNeighborsClassifier(algorithm='auto', leaf_size=30, metric='minkowski',
metric_params=None, n_jobs=None, n_neighbors=5, p=2,
weights='uniform')
%time knn_clf.score(x_test, y_test)
输出结果：
Wall time: 11min 6s
0.9688
在这里，值得一提的是，之前讨论knn的时候，由于相比较样本之间距离，所以通常会对数据进行归一化。但是这里没用使用standardscale，因为这是图像。因为图像的像素点都在0-255，所以进行距离的比较是有意的，只有当尺度不一致时，才会考虑使用归一化。
接下来使用PCA进行降维：
from sklearn.decomposition import PCA
pca = PCA(0.9)
pca.fit(x_train)
x_train_reduction = pca.transform(x_train)
x_train.shape
输出结果：(60000, 87) 可以发现通过降维实现了只有87维代替原来的784维，能够保留90的信息。
from sklearn.neighbors import KNeighborsClassifier
knn_clf = KNeighborsClassifier()
%time knn_clf.fit(x_train_reduction, y_train)
输出结果：Wall time: 436 ms 降维前使用了28s完成现在只需436ms。
x_test_reduction = pca.transform(x_test)
%time knn_clf.score(x_test_reduction, y_test)
Wall time: 1min 17s
0.9728
将降维前后进行对比：
- 时间上：
- 训练时间-降维前：28 s，降维后：436 ms
- 测试时间-降维前：11min 6s，降维后：1min 17s
- 精度上：降维前：0.9688，降维后：0.9728
经过上面的对比，发现经过降维之后速度提高了很多很多，而且准确率反而高了，这是为什么呢？这是因为其实降维还有另外一个作用，就是去噪。
七、使用PCA降噪
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
X = np.empty((100, 2))
X[:, 0] = np.random.uniform(0., 100., size=100)
X[:, 1] = 0.75 * X[:, 0] + 3. + np.random.normal(0, 5, size=100)
plt.scatter(X[:,0], X[:,1])
plt.show()
from sklearn.decomposition import PCA
pca = PCA(n_components=1)
pca.fit(X)
x_reduction = pca.transform(X)
x_restore = pca.inverse_transform(x_reduction)
plt.scatter(x_restore[:, 0], x_restore[:, 1])
plt.show()
通过这个例子，发现pca还可以降噪，将高维数据降低到低维数据，这个过程中也可以理解成降低了维度，丢失了信息，同时也去除了噪音。为了更加直观，接下来使用手写数字识别数据集。
from sklearn import datasets
digits = datasets.load_digits()
x = digits.data
y = digits.target
# 手动添加噪声
noisy_digits = x + np.random.normal(0, 4, size=x.shape)
# 取出部分数据做可视化
example_digits = noisy_digits[y==0,:][:10]
for num in range(1, 10):
x_num = noisy_digits[y==num,:][:10]
example_digits = np.vstack([example_digits, x_num])
example_digits.shape
def plot_digits(data):
fig, axes = plt.subplots(10, 10, figsize=(10,10),
subplot_kw={'xticks':[], 'yticks':[]},
gridspec_kw=dict(hspace=0.1, wspace=0.1))
for i, ax in enumerate(axes.flat):
ax.imshow(data[i].reshape(8, 8),
cmap='binary', interpolation='nearest',
clim=(0, 16))
plt.show()
plot_digits(example_digits)
接下来使用pca去噪，
from sklearn.decomposition import PCA
pca = PCA(0.5)
pca.fit(noisy_digits)
pca.n_components_
输出结果：12，可以看出保留50%的信息，只需要12维。
components = pca.transform(example_digits)
filterd_digits = pca.inverse_transform(components)
plot_digits(filterd_digits)
通过这个例子，可以对pca降维有一个感性的认识。
八、PCA与人脸识别
假设X一张人脸图像，W是钱k个主成分组成的矩阵，其实可以把W看做X的一些比较明显的特征。这就是特征脸（Eigenface）。
首先下载数据集，sklearn中的lfw_people数据集：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import fetch_lfw_people
faces = fetch_lfw_people()
这里依旧有个小坑，就是数据下载不下来，不过没事，我们可以手动下载，复制这个网址 https://ndownloader.figshare.com/files/5976015 到迅雷中，下载到完整的lfwfunneded.tgz文件。并把这个文件放在C:UsersMogulscikit_learn_datalfw_home路径下，解压。然后再次运行就可以了。
faces
faces.keys()
faces.data.shape
#(13233, 2914)，数据集中一共13233个样本，每个样本维度2914
faces.images.shape
# (13233, 62, 47)，每个图片的大小（62， 47）
random_indexes = np.random.permutation(len(faces.data))
# 将数据集的顺序打乱
X = faces.data[random_indexes]
# 从中取除前36个
example_faces = X[:36, :]
example_faces.shape
def plot_faces(faces):
fig, axes = plt.subplots(6, 6, figsize=(10, 10),
subplot_kw={'xticks':[], 'yticks':[]},
gridspec_kw=dict(hspace=0.1, wspace=0.1))
for i, ax in enumerate(axes.flat):
ax.imshow(faces[i].reshape(62, 47), cmap='bone')
plt.show()
plot_faces(example_faces)
faces.target_names
# array(['AJ Cook', 'AJ Lamas', 'Aaron Eckhart', ..., 'Zumrati Juma',
'Zurab Tsereteli', 'Zydrunas Ilgauskas'], dtype='<U35')
len(faces.target_names)
# 5749,数据集中一共有5749个人物，一共有13233张图片，差不多每个人2张。
# 但实际情况并不是这样，因为样本并不均衡，有些可能只有一张，有些可能很多张。
%%time
from sklearn.decomposition import PCA
pca = PCA(svd_solver='randomized')
pca.fit(X)
输出结果：Wall time: 18.4 s
pca.components_.shape
# (2914, 2914)
# 取出前36个特征脸进行可视化
plot_faces(pca.components_[:36, :])
刚刚提到这个数据集的样本分布是不均衡的，那么接下来看看具体：
faces2 = fetch_lfw_people(min_faces_per_person=60)
faces2.data.shape
# (1348, 2914)
faces2.target_names
输出结果：
array(['Ariel Sharon', 'Colin Powell', 'Donald Rumsfeld', 'George W Bush',
'Gerhard Schroeder', 'Hugo Chavez', 'Junichiro Koizumi',
'Tony Blair'], dtype='<U17')
根据输出结果可以发现，最少有60张图像的数据集一共有1348张图片，只有8个人的图像大于60，使用这样的数据进行人脸识别相对就比较合理了。
我是尾巴：
其实在PCA的背后是强大的数学支撑。在这里使用的梯度上升法对PCA进行求解，其实它是可以通过数学推导出相应的公式，具体的数学解释，以后会在写一篇。
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你是如何强迫自己不断学习提升的？
看过更大的世界，更优秀的人，就再也不甘心留在原地，不甘心就是动力！
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