费马小定理：
引理：若集合{f}={f1,f2,f3...fm-1}中元素对m取模的结果遍历了（1~m-1）所有值，且k与m互质，则{f1k,f2k,f3k...}对m取模的结果同样遍历（1~m-1）所有值
（或者用偏理论的语言描述：如果{a1,a2,a3...am}是m的一个完全剩余系，且k与m互质，则{a1k,a2k...amk}也是m的一个完全剩余系）
证明：
应用反证法，假设:
于是：
设 ①
②
②-①，得：
即与m不互质
又∵k与m互质
∴与m不互质
不妨设
于是
两侧对m取模，得：
这与{f}是m的一个完全剩余系矛盾
∴假设不成立，原命题得证
即：{f*k}也是m得一个完全剩余系
证明：
构造序列{bn}，令bi=i·a（i<=p-1），则:
又∵ a,p互质，由引理：
∴
又∵
∴
证毕
应用相同方法，可以证明欧拉定理：
证明方法完全一致