luogu 2962 [USACO09NOV]灯Lights

还是高斯消元解异或方程组

如果这个你不会，请看这里

现在假定你已经会这个东西了

那么我们就可以构造模型了

首先有一个很显然的结论：一个开关至多只需要按一次！（因为按两次等于不按，按三次等于按一次....）

我们设一盏灯开的状态为1，关的状态为0，那么我们的目标就是把所有灯的状态都改成1

那么能影响到一盏灯的因素就是所有关联他的开关以及他本身

那么我们设每个开关的状态为$x_i$，与这盏灯有关的开关集合为S，那么一个灯最后的要求就是

$sum_{i∈S}x_i==1$（这里的$sum$表示异或和）

那么就是异或方程组了，用高斯消元解之即可

但是会有自由元的问题，所以我们要用dfs枚举每个自由元的状态，使得取得1的x数量最小，注意剪枝即可

然后就结束了

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#include <vector>
using namespace std;
int a[45][45];
int n,m;
vector <int> v[45];
void Gauss()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int temp=i;
        while(!a[temp][i]&&temp<=n)temp++;
        if(temp>n)continue;
        if(temp!=i)for(int j=i;j<=n+1;j++)swap(a[i][j],a[temp][j]);
        for(int j=1;j<=n;j++)if(a[j][i]&&j!=i)for(int k=i;k<=n+1;k++)a[j][k]^=a[i][k];
    }
}
int ans=0x3f3f3f3f;
void dfs(int dep,int sum)
{
    if(sum>=ans)return;
    if(!dep){ans=sum;return;}
    if(a[dep][dep])dfs(dep-1,sum+a[dep][n+1]);
    else
    {
        if(a[dep][n+1])return;
        dfs(dep-1,sum);
        for(int j=dep-1;j>=1;j--)a[j][n+1]^=a[j][dep];
        dfs(dep-1,sum+1);
        for(int j=dep-1;j>=1;j--)a[j][n+1]^=a[j][dep];
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        v[x].push_back(y),v[y].push_back(x);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<v[i].size();j++)a[i][v[i][j]]=1;
        a[i][i]=a[i][n+1]=1;
    }
    Gauss();
    dfs(n,0);
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}