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  • bzoj 4555

    题意:求$sum_{i=0}^{n}sum_{j=0}^{i}S(i,j)2^{j}j!$

    一看就觉得不可做...

    但是还是需要仔细分析的

    最重要的是一步转化:

    根据第二类斯特林数的定义:$S(n,m)$表示将$n$个不同物品分到$m$个集合中的方案数

    然后考虑求和式里面那个东西,发现其含义就是将$i$个不同物品分到$j$个集合中,每个集合都有2种属性,然后对这些集合进行全排列的方案数

    那么基于这个定义,设状态$g(n)=sum_{j=0}^{n}S(n,j)2^{j}j!$,那么有递推式:$g(n)=sum_{i=1}^{n}2C_{n}^{i}g(n-i)$

    这个递推式的来历是枚举第一个集合中的元素得到的

    按照套路,展开组合数,得到:

    $g(n)=sum_{i=1}^{n}2frac{n!}{i!(n-i)!}g(n-i)$

    移项可得:

    $frac{g(n)}{n!}=sum_{i=1}^{n}frac{2}{i!}frac{g(n-i)}{(n-i)!}$

    那么右边显然是个卷积的形式

    设$F(x)=sum_{i=1}^{n}frac{2}{i!}x^{i}$

    $G(x)=sum_{i=0}^{n}frac{g(i)}{(i)!}x^{i}$

    注意到这时直接卷积后$G(0)=0$,但事实要求$G(0)=1$(边界要求)

    因此可以求得$G(x)=F(x)G(x)+1$

    移项即得到$G(x)=frac{1}{1-F(x)}$

    (这种方法好像可以用来水分治FFT的说)

    等等,求出了$G(x)$有什么用?

    可以看到,对$G(x)$每一项乘$i!$即得到$g(x)$的生成函数,直接求和即可

    贴代码:

    #include <cstdio>
    #include <cmath>
    #include <cstring>
    #include <cstdlib>
    #include <iostream>
    #include <algorithm>
    #include <queue>
    #include <stack>
    #define ll long long
    using namespace std;
    const ll mode=998244353;
    ll F[100005];
    ll FF[100005];
    ll G[100005];
    ll inv[100005];
    ll mul[100005];
    ll minv[100005];
    int to[(1<<20)+5];
    int n;
    void init()
    {
        inv[0]=inv[1]=mul[0]=mul[1]=minv[0]=minv[1]=1;
        for(int i=2;i<=100000;i++)
        {
            inv[i]=(mode-mode/i)*inv[mode%i]%mode;
            minv[i]=minv[i-1]*inv[i]%mode;
            mul[i]=mul[i-1]*i%mode;
        }
    }
    ll pow_mul(ll x,ll y)
    {
        ll ret=1;
        while(y)
        {
            if(y&1)ret=ret*x%mode;
            x=x*x%mode,y>>=1;
        }
        return ret;
    }
    void NTT(ll *a,int len,int k)
    {
        for(int i=0;i<len;i++)if(i<to[i])swap(a[i],a[to[i]]);
        for(int i=1;i<len;i<<=1)
        {
            ll w0=pow_mul(3,(mode-1)/(i<<1));
            for(int j=0;j<len;j+=(i<<1))
            {
                ll w=1;
                for(int o=0;o<i;o++,w=w*w0%mode)
                {
                    ll w1=a[j+o],w2=a[j+o+i]*w;
                    a[j+o]=(w1+w2)%mode,a[j+o+i]=((w1-w2)%mode+mode)%mode;
                }
            }
        }
        if(k==-1)
        {
            ll inv=pow_mul(len,mode-2);
            for(int i=1;i<(len>>1);i++)swap(a[i],a[len-i]);
            for(int i=0;i<len;i++)a[i]=a[i]*inv%mode;
        }
    }
    ll A[(1<<20)+5],B[(1<<20)+5],C[(1<<20)+5];
    void get_inv(ll *f,ll *g,int dep)
    {
        if(dep==1)
        {
            g[0]=pow_mul(f[0],mode-2);
            return;
        }
        int nxt=(dep+1)>>1;
        get_inv(f,g,nxt);
        int lim=1,l=0;
        while(lim<=2*dep)lim<<=1,l++;
        for(int i=0;i<lim;i++)to[i]=((to[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1)));
        for(int i=0;i<lim;i++)A[i]=B[i]=0;
        for(int i=0;i<dep;i++)A[i]=f[i];
        for(int i=0;i<nxt;i++)B[i]=g[i];
        NTT(A,lim,1),NTT(B,lim,1);
        for(int i=0;i<lim;i++)C[i]=A[i]*B[i]%mode*B[i]%mode;
        NTT(C,lim,-1);
        for(int i=0;i<dep;i++)g[i]=((2*g[i]-C[i])%mode+mode)%mode;
    }
    int main()
    {
        scanf("%d",&n);
        init();
        n++;
        for(int i=1;i<n;i++)F[i]=(-2ll*minv[i]%mode+mode)%mode;
        F[0]=1;
        get_inv(F,FF,n);
        ll s=0;
        for(int i=0;i<n;i++)s=(s+FF[i]*mul[i]%mode)%mode;
        printf("%lld
    ",s);
        return 0;
    }
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/zhangleo/p/11016660.html
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