多项式问题之五——多项式exp

问题：已知一个多项式$F(x)$次数为$n-1$，求一个多项式$G(x)$满足$G(x)equiv e^{F(x)}$($mod$ $x^{n}$)

保证$F(x)$常数项为$0$

好像有点困难...

首先有一个基础知识：

我们可以用牛顿迭代求出一个多项式的多项式零点

也即已知一个多项式$F(x)$，可以利用牛顿迭代求出一个多项式$G(x)$满足$F(G(x))equiv 0$($mod$ $x^{n}$)

为什么我们要知道这件事情？

假设我们已知了$G_{0}(x)equiv e^{F(x)}$($mod$ $x^{frac{n}{2}}$

那么我们需要求出的就是$G_{0}$与$G(x)$的关系

首先，根据牛顿迭代公式，可得：
$G(x)=G_{0}(x)-frac{F(G_{0}(x)}{F^{'}(G_{0}(x))}$

（关于这个公式的来历，我在最下面有一个感性理解的部分）

但是这个嵌套的东西还是很闹心

那么我们从另一个方向再进行一些推导：

已知$G(x)equiv e^{F(x)}$($mod$ $x^{n}$)

那么两边取对数

$lnG(x)-F(x)equiv 0$($mod$ $x^{n}$)

设$H(G(x))equiv lnA(x)-B(x)equiv 0$ ($mod$ $x^{n}$)

那么求导即得到$H^{'}(G_{0}(x))equiv G_{0}^{-1}(x)$

那么再回到上面的表达式：

 $G(x)=G_{0}(x)-frac{H(G_{0}(x)}{H^{'}(G_{0}(x))}$

最后整理一遍，得到：

$G(x)equiv G_{0}(x)[1-lnG_{0}(x)+F(x)]$($mod$ $x^{n}$)

这样就可以倍增去求了

关于牛顿迭代：

假设我们要求一个函数$f(x)$的零点，那么我们不妨假设这个零点是$x_{0}$，然后将$f(x)$在$x=x_{0}$处求导得$f^{'}(x_{0})$，计算出在这一点的切线

$y=f^{'}(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})$

接下来求出该切线与$x$轴交点横坐标$x_{1}$，那么$x_{1}$的精度就比$x_{0}$的精度好一倍（大概是这个意思吧）

我们计算出$x_{1}$的表达式，可以发现$x_{1}=x_{0}-frac{f(x_{0})}{f^{'}(x_{0})}$，那么这就是一个递推关系式，将未知数$x$换为多项式$G(x)$即得回上式

代码：

// luogu-judger-enable-o2
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#define ll long long
#define maxn 100005
using namespace std;
const ll mode=998244353;
ll tempf[100005],tempdf[100005],tempif[100005];
ll lB[100005],tB[100005];
ll F[100005],G[100005];
ll W[(1<<20)+5];
int n;
ll pow_mul(ll x,ll y)
{
    ll ret=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)ret=ret*x%mode;
        x=x*x%mode,y>>=1;
    }
    return ret;
}
int to[(1<<20)+5];
void NTT(ll *a,int len,int k)
{
    for(int i=0;i<len;i++)if(i<to[i])swap(a[i],a[to[i]]);
    for(int i=1;i<len;i<<=1)
    {
        ll w0=W[i];
        for(int j=0;j<len;j+=(i<<1))
        {
            ll w=1;
            for(int o=0;o<i;o++,w=w*w0%mode)
            {
                ll w1=a[j+o],w2=a[j+o+i]*w%mode;
                a[j+o]=(w1+w2)%mode,a[j+o+i]=((w1-w2)%mode+mode)%mode;
            }
        }
    }
    if(k==-1)
    {
        ll inv=pow_mul(len,mode-2);
        for(int i=1;i<(len>>1);i++)swap(a[i],a[len-i]);
        for(int i=0;i<len;i++)a[i]=a[i]*inv%mode;
    }
}
ll A[(1<<20)+5],B[(1<<20)+5],C[(1<<20)+5];
void mul(ll *f,ll *g,int lenf,int leng)
{
    int lim=1,l=0;
    while(lim<=lenf+leng)lim<<=1,l++;
    for(int i=0;i<lim;i++)to[i]=((to[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1)));
    for(int i=0;i<lim;i++)A[i]=B[i]=0;
    for(int i=0;i<lenf;i++)A[i]=f[i];
    for(int i=0;i<leng;i++)B[i]=g[i];
    for(int i=1;i<lim;i<<=1)W[i]=pow_mul(3,(mode-1)/(i<<1));
    NTT(A,lim,1),NTT(B,lim,1);
    for(int i=0;i<lim;i++)C[i]=A[i]*B[i]%mode;
    NTT(C,lim,-1);
}
void get_inv(ll *f,ll *g,int dep)
{
    if(dep==1)
    {
        g[0]=pow_mul(f[0],mode-2);
        return;
    }
    int nxt=(dep+1)>>1;
    get_inv(f,g,nxt);
    int lim=1,l=0;
    while(lim<=2*dep)lim<<=1,l++;
    for(int i=0;i<lim;i++)to[i]=((to[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1)));
    for(int i=0;i<lim;i++)A[i]=B[i]=0;
    for(int i=0;i<dep;i++)A[i]=f[i];
    for(int i=0;i<nxt;i++)B[i]=g[i];
    for(int i=1;i<lim;i<<=1)W[i]=pow_mul(3,(mode-1)/(i<<1));
    NTT(A,lim,1),NTT(B,lim,1);
    for(int i=0;i<lim;i++)C[i]=A[i]*B[i]%mode*B[i]%mode;
    NTT(C,lim,-1);
    for(int i=0;i<dep;i++)g[i]=((2*g[i]-C[i])%mode+mode)%mode;
}
void get_ln(ll *f,ll *g,int len)
{
    for(int i=0;i<len;i++)tempf[i]=f[i];
    for(int i=1;i<len;i++)tempdf[i-1]=tempf[i]*i%mode;
    for(int i=0;i<len;i++)tempif[i]=0;
    get_inv(tempf,tempif,len);
    mul(tempif,tempdf,len,len);
    g[0]=0;
    for(int i=1;i<len;i++)g[i]=C[i-1]*pow_mul(i,mode-2)%mode;
}
void get_exp(ll *f,ll *g,int dep)
{
    if(dep==1)
    {
        g[0]=1;
        return;
    }
    int nxt=(dep+1)>>1;
    get_exp(f,g,nxt);
    get_ln(g,lB,dep);
    for(int i=0;i<dep;i++)tB[i]=(f[i]-lB[i]+mode)%mode;
    tB[0]++;
    tB[0]%=mode;
    mul(tB,g,dep,dep);
    for(int i=0;i<dep;i++)g[i]=C[i];
}
char buffer[maxn],*S,*T; 
inline char Getchar()  
{  
    if(S==T)  
    {  
        T=(S=buffer)+fread(buffer,1,maxn,stdin);
        if(S==T) return EOF;  
    }  
    return *S++;  
}
inline ll read()
{
    ll f=1,x=0;char ch=Getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=Getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=Getchar();}
    return x*f;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++)F[i]=read();
    get_exp(F,G,n);
    for(int i=0;i<n;i++)printf("%lld ",G[i]);
    printf("
");
    return 0;
}