bzoj 3456

有两种推导方法：

第一种：

设状态$f(i)$表示有$i$个点的无向连通图个数，$g(i)$表示有$i$个点的无向图个数，那么显然$f(n)$即为我们所求，而$g(i)=2^{frac{i(i-1)}{2}}$

于是写出一个递推：枚举$1$号点所在的连通块，可得：$g(n)=sum_{i=1}^{n}C_{n-1}^{i-1}f(i)g(n-i)$

这已经很像一个卷积了，那么我们进一步展开组合数，也就是：

$g(n)=sum_{i=1}^{n}frac{(n-1)!}{(n-i)!(i-1)!}f(i)g(n-i)$

 按照套路，把这些阶乘分给每一项，得到：

$frac{g(n)}{(n-1)!}=sum_{i=1}^{n}frac{f(i)}{(i-1)!}frac{g(n-i)}{(n-i)!}$

这就是一个卷积了...吗？

别忘了，我们要求出的是$f$而不是$g$！

因此我们构造几个多项式：

$F(x)=sum_{i=1}^{n}frac{f(i)}{(i-1)!}x^{i}$

$G(x)=sum_{i=1}^{n}frac{g(i)}{(i-1)!}x^{i}$

$H(x)=sum_{i=0}^{n}frac{g(i)}{i!}x^{i}$

立刻能够看出$G(x)=F(x)H(x)$，也即$F(x)=G(x)H^{-1}(x)$

多项式求逆即可

第二种：

仍然像上面那样设计状态，但是直接构造多项式：

$F(x)=sum_{i=1}^{n}frac{f(i)}{i!}x^{i}$

$G(x)=sum_{i=1}^{n}frac{g(i)}{i!}x^{i}$

接下来考虑这两者的关系

我们枚举无向图中连通块的个数，立刻得到：$G(x)=sum_{i=0}^{∞}frac{G(x)^{i}}{i!}$

那么这个东西可以看成$y=e^{x}$在$x=0$出进行泰勒展开得到，也即：

$G(x)=e^{F(x)}$

求$F(x)$只需多项式$ln$即可

贴第二种方法的代码

// luogu-judger-enable-o2
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#define ll long long
using namespace std;
const ll mode=1004535809;
ll F[(1<<20)+5],Ff[(1<<20)+5],iF[(1<<20)+5],G[(1<<20)+5];
ll mul[(1<<20)+5],inv[(1<<20)+5],minv[(1<<20)+5];
int n,Lim=1;
ll pow_mul(ll x,ll y)
{
    ll ret=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)ret=ret*x%mode;
        x=x*x%mode,y>>=1;
    }
    return ret;
}
void init()
{
    mul[0]=mul[1]=inv[0]=inv[1]=minv[0]=minv[1]=F[1]=F[0]=1;
    //while(Lim<=2*n)n<<=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        inv[i]=(mode-mode/i)*inv[mode%i]%mode;
        minv[i]=minv[i-1]*inv[i]%mode;
        mul[i]=mul[i-1]*i%mode;
        F[i]=pow_mul(2,1ll*i*(i-1)/2)*minv[i]%mode;
    }
}
int to[(1<<20)+5];
void NTT(ll *a,int len,int k)
{
    for(int i=0;i<len;i++)if(i<to[i])swap(a[i],a[to[i]]);
    for(int i=1;i<len;i<<=1)
    {
        ll w0=pow_mul(3,(mode-1)/(i<<1));
        for(int j=0;j<len;j+=(i<<1))
        {
            ll w=1;
            for(int o=0;o<i;o++,w=w*w0%mode)
            {
                ll w1=a[j+o],w2=a[j+o+i]*w%mode;
                a[j+o]=(w1+w2)%mode,a[j+o+i]=((w1-w2)%mode+mode)%mode;
            }
        }
    }
    if(k==-1)
    {
        ll inv=pow_mul(len,mode-2);
        for(int i=1;i<(len>>1);i++)swap(a[i],a[len-i]);
        for(int i=0;i<len;i++)a[i]=a[i]*inv%mode;
    }
}
ll A[(1<<20)+5],B[(1<<20)+5],C[(1<<20)+5];
void get_inv(ll *f,ll *g,int dep)
{
    if(dep==1)
    {
        g[0]=pow_mul(f[0],mode-2);
        return;
    }
    int nxt=(dep+1)>>1;
    get_inv(f,g,nxt);
    int lim=1,l=0;
    while(lim<=2*dep)lim<<=1,l++;
    for(int i=0;i<lim;i++)to[i]=((to[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1)));
    for(int i=0;i<lim;i++)A[i]=B[i]=0;
    for(int i=0;i<dep;i++)A[i]=f[i];
    for(int i=0;i<nxt;i++)B[i]=g[i];
    NTT(A,lim,1),NTT(B,lim,1);
    for(int i=0;i<lim;i++)C[i]=A[i]*B[i]%mode*B[i]%mode;
    NTT(C,lim,-1);
    for(int i=0;i<dep;i++)g[i]=(2*g[i]-C[i]+mode)%mode;
}
void get_ln(ll *f,ll *g,int dep)
{
    get_inv(f,iF,dep);
    int lim=1,l=0;
    while(lim<=2*dep)lim<<=1,l++;
    for(int i=0;i<lim;i++)to[i]=((to[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1)));
    for(int i=0;i<lim;i++)A[i]=B[i]=0;
    for(int i=0;i<dep;i++)A[i]=F[i+1]*(i+1)%mode;
    for(int i=0;i<dep;i++)B[i]=iF[i];
    NTT(A,lim,1),NTT(B,lim,1);
    for(int i=0;i<lim;i++)C[i]=A[i]*B[i]%mode;
    NTT(C,lim,-1);
    for(int i=0;i<dep;i++)g[i+1]=C[i]*pow_mul(i+1,mode-2)%mode;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    init();
    ++n;
    get_ln(F,G,n);
    printf("%lld
",G[n-1]*mul[n-1]%mode);
    return 0;
}