luogu 4389

生成函数好题

首先我们对每一种物品（设体积为$v_{i}$）构造生成函数$F(x)=sum_{j=1}^{infty}x^{jv_{i}}$

 那么很显然答案就是这一堆东西乘在一起

但是...这个复杂度是$O(nmlog_{2}m)$的，显然不合理

因此我们考虑优化

我们发现，如果我们把所有生成函数取对数，那么多项式乘法就可以变成多项式加法了，我们直接累计每一位上的贡献即可

可是...这种东西如果我们挨个写多项式$ln$的话还是$O(nmlog_{2}m)$...

因此我们考虑转化：

把生成函数写成$F(x)=frac{1}{1-x^{v_{i}}}$的形式

然后求$ln$：

$lnF(x)=lnfrac{1}{1-x^{v_{i}}}=-ln(1-x^{v_{i}})$

展开这个东西的步骤：

设$v_{i}=a$

于是只需展开$-ln(1-x^{a})$即可

那么对这个东西求导得到：

$frac{ax^{a-1}}{1-x^{a}}$

然后把下面恢复成等比数列求和的形式：

$ax^{a-1}sum_{i=0}^{infty}x^{ai}$

再把系数乘进去

$asum_{i=0}^{infty}x^{ai+a-1}$

再积分，考虑对同一函数先求导再积分得到的就是原函数，因此：

$lnF(x)=int asum_{i=0}^{infty}x^{ai+a-1}$

也就是：

$lnF(x)=asum_{i=0}^{infty}frac{1}{ai+a}x^{ai+a}$

再把系数扔进去：

$lnF(x)=sum_{i=0}^{infty}frac{1}{i+1}x^{ai+a}$

改一下枚举范围：

$lnF(x)=sum_{i=1}^{infty}frac{1}{i}x^{ai}$

那么就可以直接$O(nlnm)$（即调和级数）枚举倍数计算贡献，最后多项式exp即可

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define uint unsigned int
#define ll long long
using namespace std;
const ll mode=998244353;
int to[(1<<20)+5];
int v[1000005];
uint inv[2000005];
uint G[1000005];
uint F[1000005];
uint Ff[1000005];
uint ig[1000005];
uint lg[1000005];
uint tg[1000005];
uint has[1000005];
int n,m;
void init()
{
    inv[0]=inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=200000;i++)inv[i]=1ll*(mode-mode/i)*inv[mode%i]%mode;
}
uint pow_mul(uint x,uint y)
{
    uint ret=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)ret=1ll*ret*x%mode;
        x=1ll*x*x%mode,y>>=1;
    }
    return ret;
}
uint MOD(uint x,uint y)
{
    return x+y>=mode?x+y-mode:x+y;
}
void NTT(uint *a,int len,int k)
{
    for(int i=0;i<len;i++)if(i<to[i])swap(a[i],a[to[i]]);
    for(int i=1;i<len;i<<=1)
    {
        uint w0=pow_mul(3,(mode-1)/(i<<1));
        for(int j=0;j<len;j+=(i<<1))
        {
            uint w=1;
            for(int o=0;o<i;o++,w=1ll*w*w0%mode)
            {
                uint w1=a[j+o],w2=1ll*a[j+o+i]*w%mode;
                a[j+o]=(w1+w2)%mode,a[j+o+i]=(w1+mode-w2)%mode;
            }
        }
    }
    if(k==-1)
    {
        uint Inv=pow_mul(len,mode-2);
        for(int i=1;i<(len>>1);i++)swap(a[i],a[len-i]);
        for(int i=0;i<len;i++)a[i]=1ll*a[i]*Inv%mode;
    }
}
uint A[(1<<20)+5],B[(1<<20)+5],C[(1<<20)+5];
void mul(uint *f,uint *g,int len)
{
    int lim=1,l=0;
    while(lim<=2*len)lim<<=1,l++;
    for(int i=0;i<lim;i++)A[i]=B[i]=0,to[i]=((to[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1)));
    for(int i=0;i<len;i++)A[i]=f[i],B[i]=g[i];
    NTT(A,lim,1),NTT(B,lim,1);
    for(int i=0;i<lim;i++)C[i]=1ll*A[i]*B[i]%mode;
    NTT(C,lim,-1);
}
void get_inv(uint *f,uint *g,int dep)
{
    if(dep==1)
    {
        g[0]=pow_mul(f[0],mode-2);
        return;
    }
    int nxt=(dep+1)>>1;
    get_inv(f,g,nxt);
    int lim=1,l=0;
    while(lim<=2*dep)lim<<=1,l++;
    for(int i=0;i<lim;i++)A[i]=B[i]=0,to[i]=((to[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1)));
    for(int i=0;i<dep;i++)A[i]=f[i];
    for(int i=0;i<nxt;i++)B[i]=g[i];
    NTT(A,lim,1),NTT(B,lim,1);
    for(int i=0;i<lim;i++)C[i]=1ll*A[i]*B[i]%mode*1ll*B[i]%mode;
    NTT(C,lim,-1);
    for(int i=0;i<dep;i++)g[i]=(2*g[i]+mode-C[i])%mode;
}
void get_ln(uint *f,uint *g,int dep)
{
    for(int i=0;i<dep;i++)ig[i]=0;
    get_inv(f,ig,dep);
    for(int i=0;i<dep-1;i++)Ff[i]=1ll*f[i+1]*(i+1)%mode;
    mul(ig,Ff,dep);
    for(int i=0;i<dep;i++)g[i+1]=1ll*C[i]*inv[i+1]%mode;
}
void get_exp(uint *f,uint *g,int dep)
{
    if(dep==1)
    {
        g[0]=1;
        return;
    }
    int nxt=(dep+1)>>1;
    get_exp(f,g,nxt);
    get_ln(g,lg,dep);
    for(int i=0;i<dep;i++)tg[i]=(f[i]+mode-lg[i])%mode;
    tg[0]++;
    mul(g,tg,dep);
    for(int i=0;i<dep;i++)g[i]=C[i];
}
inline int read()
{
    int f=1,x=0;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int main()
{
    init();
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)v[i]=read(),has[v[i]]++;
    for(int i=1;i<=100000;i++)if(has[i])for(int j=1;i*j<=m;j++)G[i*j]=MOD(G[i*j],1ll*has[i]*inv[j]%mode);
    get_exp(G,F,m+1);
    for(int i=1;i<=m;i++)printf("%u
",F[i]);
    return 0;
}