P3455 [POI2007]ZAP-Queris（莫比乌斯反演）

题意：

给出(a,b,d)，求满足(1 leq x leq a,1 leq y leq b)，且(gcd(x,y)=d)的二元组((x,y))的数量。

(1 leq n leq 5 imes 10^4)

(1 leq d leq a,b leq 5 imes 10^4)

题解：

写出式子：

(sum_{i=1}^asum_{j=1}^b[gcd(i,j)=k])

可以把(d)提取出来，变成

(sum_{i=1}^{a/k}sum_{i=1}^{b/k}[gcd(i,j)=1])

可以把(gcd(i,j)=1)变成(sum_{d|gcd(i,j)}mu(d))（莫比乌斯函数的性质），变成

(sum_{i=1}^{a/k}sum_{j=1}^{b/k}sum_{d|gcd(i,j)}mu(d))

即(i,j)都是(d)的倍数，且(d)的范围一定是(min(a,b))。

这里默认(a)是较小的那个，

所以可以把(d)移到前面，变成

(sum_{d=1}^amu(d)[n/kd][m/kd])

然后套一个二维的数论分块，时间复杂度(O(sqrt{n}))。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+100;
typedef long long ll;
int vis[maxn];
ll pri[maxn],mu[maxn],sum[maxn],cnt;
void getMu (ll n) {
	//线性筛莫比乌斯函数，并求解前缀和 
	mu[1]=1;
	for (ll i=2;i<=n;i++) {
		if (!vis[i]) {
			mu[i]=-1;
			pri[++cnt]=i;
		}
		for (ll j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=n;j++) {
			vis[i*pri[j]]=1;
			if (i%pri[j]==0) break;
			else mu[i*pri[j]]=-mu[i];
		}
	}
	for (ll i=1;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
}
int main () {
	int _;
	scanf("%d",&_);
	getMu(60000);
	while (_--) {
		ll A,B,D;
		scanf("%lld%lld%lld",&A,&B,&D);
		if (A>B) swap(A,B);
		ll ans=0;
		for (ll l=1,r;l<=A;l=r+1) {
			r=min(A/(A/l),B/(B/l));
			ans+=(A/(l*D))*(B/(l*D))*(sum[r]-sum[l-1]);
		}
		printf("%lld
",ans);
	}
}