POJ3233:Matrix Power Series(矩阵快速幂+二分）

http://poj.org/problem?id=3233

题目大意：给定矩阵A，求A + A^2 + A^3 + … + A^k的结果（两个矩阵相加就是对应位置分别相加）。输出的数据mod m。k<=10^9。
这道题两次二分，相当经典。首先我们知道，A^i可以二分求出。然后我们需要对整个题目的数据规模k进行二分。比如，当k=6时，有：
A + A^2 + A^3 + A^4 + A^5 + A^6 =(A + A^2 + A^3) + A^3*(A + A^2 + A^3)应用这个式子后，规模k减小了一半。我们二分求出A^3后再递归地计算A + A^2 + A^3，即可得到原问题的答案。

代码如下：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <math.h>
#include <queue>
using namespace std;

struct matrix
{
    int a[31][31];
} init,res;
int n,k,mod;
matrix Mult(matrix x,matrix y)
{
    matrix tmp;
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        for(int j=0; j<n; j++)
        {
            tmp.a[i][j]=0;
            for(int k=0; k<n; k++)
                tmp.a[i][j]=(tmp.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j])%mod;
        }
    }
    return tmp;
}
matrix Pow(matrix x,int k)
{
    matrix tmp;
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        for(int j=0; j<n; j++)
            tmp.a[i][j]=(i==j);
    }
    while(k)
    {
        if(k&1)
            tmp=Mult(tmp,x);
        k>>=1;
        x=Mult(x,x);
    }
    return tmp;
}
matrix Add(matrix x,matrix y)
{
    matrix tmp;
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        for(int j=0; j<n; j++)
        {
            tmp.a[i][j]=(x.a[i][j]+y.a[i][j])%mod;
        }
    }
    return tmp;
}
matrix Sum(matrix x,int k)
{
    if(k==1)
        return x;
    matrix tmp=Sum(x,k/2),y;
    if(k&1)
    {
        y=Pow(x,k/2+1);
        tmp=Add(Mult(y,tmp),tmp);
        return Add(tmp,y);
    }
    else
    {
        y=Pow(x,k/2);
        return Add(Mult(y,tmp),tmp);
    }
}
int main()
{
    while(scanf("%d%d%d",&n,&k,&mod)!=EOF)
    {
        for(int i=0; i<n; i++)
        {
            for(int j=0; j<n; j++)
            {
                scanf("%d",&init.a[i][j]);
                init.a[i][j]%=mod;
            }
        }
        res=Sum(init,k);
        for(int i=0; i<n; i++)
        {
            for(int j=0; j<n; j++)
            {
                if(j==0) printf("%d",res.a[i][j]);
                else printf(" %d",res.a[i][j]);
            }
            printf("
");
        }
    }
    return 0;
}

 其他大神的想法：

题目分析：矩阵快速幂。首先我们知道 A^x 可以用矩阵快速幂求出来。其次可以对k进行二分，每次将规模减半，分k为奇偶两种情况，如当k = 6和k = 7时有：

      k = 6 有： S(6) = (1 + A^3) * (A + A^2 + A^3) = (1 + A^3) * S(3)。

      k = 7 有： S(7) = A + (A + A^4) * (A + A^2 + A^3) = A + (A + A^4) * S(3)。

 

ps：对矩阵定义成结构体Matrix，求S时用递归，程序会比较直观，好写一点。当然定义成数组，然后再进行一些预处理，效率会更高些。