乘法逆元+模的运算规则

模的运算规则

运算规则

模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：

(a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）

(a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2）

(a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）

(a^b) % p = ((a % p)^b) % p （4）

%运算法则 

1. (a*b) %p= ( a%p) *(b%p) 乘法的

2. (a/b) %p= ( a *b^(-1)%p) 除法的

结合律：

((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5）

((a*b) % p * c)% p = (a * b*c) % p （6）// (a%p*b)%p=(a*b)%p

交换律：

(a + b) % p = (b+a) % p （7）

(a * b) % p = (b * a) % p （8）

分配律：

((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （9）

重要定理：

若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（10）

若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（11）

若a≡b (% p)，c≡d (% p)，则 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，

(a * c) ≡ (b * d) (%p)，(a / c) ≡ (b / d) (%p)； （12）

 

乘法逆元：

定义： 满足a*k≡1 (mod p)的k值就是a关于p的乘法逆元。

为什么要有乘法逆元呢？

当我们要求（a/b） mod p的值，且a很大，无法直接求得a/b的值时，我们就要用到乘法逆元。 我们可以通过求b关于p的乘法逆元k，将a乘上k再模p，

即(a*k) mod p。其结果与(a/b) mod p等价。

证：（其实很简单。。。）  根据b*k≡1 (mod p)有b*k=p*x+1。 k=(p*x+1)/b。 

把k代入(a*k) mod p，得：

(a*(p*x+1)/b) mod p  =((a*p*x)/b+a/b) mod p 

=[((a*p*x)/b) mod p +(a/b)] mod p 

=[(p*(a*x)/b) mod p +(a/b)] mod p 

//p*[(a*x)/b] mod p=0

所以原式等于：(a/b) mod p

 

 应用请看POJ1845的解析：

 

(（a^k-1）/x)%mod=((((a%mod)^k -1)%mod)*x^-1)%mod;

不知道这个公式是否成立，先这么用着了。。。。。orz

 

 转载：

在计算一个很大的组合数modP时会用到乘法逆元。即把/a变成*(f(a))，其中f(a)为a在模P意义下的乘法逆元，即a*f(a) mod P=1
计算乘法逆元有两种方法，扩展gcd或基于欧拉公式的快速幂取模。
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扩展gcd就是求解方程ax=1(mod P)的最小整数解.
设ax=1+y*p，即a*f(a,p)=1+p*g(a,p)，把x和y的解看成关于a,p的函数。
a>=p时，设a=p*k+r，则式子变成：
p*k*f(a,p)+r*f(a,p)=1+p*g(a,p)，移项，得r*f(a,p)=1+p*(g(a,p)-k*f(a,p))
那么就得到f(a mod p,p)=f(a,p)，g(a mod p,p)=g(a,p)-[a/p]*f(a,p);
p>=a时差不多一个意思。
所以把f,g设成全局变量，像普通gcd那样做，即时更新f,g即可。
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设欧拉函数phi(x)=在[1,x-1]中与x互质的数字个数。那么欧拉公式：
a^phi(P)=1(mod P)
两边同除a,即可得到a^(phi(P)-1) mod P即为a在模P意义下的乘法逆元。
特例：

如果P是质数，那么phi(P)=P-1.即a的乘法逆元为a^(P-2)，快速幂即可。

#include <iostream>
using namespace std;
int extended_gcd(int a,int b, int &x, int &y)
{
    if (b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    else
    {
        int gcd = extended_gcd(b, a % b, x, y);
        int t=x%mod;
        x=y%mod;
        y=((t-a/b*x)%mod+mod)%mod;
        return gcd;
    }
}
int main()
{
    int i, x, y;
    const int P = 13;
    for (i = 1; i < P; ++i)
    {
        extended_gcd(i, P, x, y);
        while (x < 0) x += P;
        printf("1 div %d = %d
", i, x);
    }
    return 0;
}