HDU 1286(欧拉函数||筛选法)

找新朋友

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Problem Description

新年快到了，“猪头帮协会”准备搞一个聚会，已经知道现有会员N人，把会员从1到N编号，其中会长的号码是N号，凡是和会长是老朋友的，那么该会员的号码肯定和N有大于1的公约数，否则都是新朋友，现在会长想知道究竟有几个新朋友？请你编程序帮会长计算出来。

 

Input

第一行是测试数据的组数CN（Case number，1<CN<10000），接着有CN行正整数N（1<n<32768），表示会员人数。

 

Output

对于每一个N，输出一行新朋友的人数，这样共有CN行输出。

 

Sample Input

2
25608
24027

 

Sample Output

7680
16016

 

纯欧拉函数或者用筛选法都能做，不能用素数打表的方法，会超时。

欧拉函数：

定义：对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中，与n互质的数的数目。

　　　　例如：φ(8)=4，因为1，3，5，7均和8互质。

性质：1.若p是质数，φ(p)= p-1.

　　　2.若n是质数p的k次幂，φ(n)=(p-1)*p^(k-1)。因为除了p的倍数都与n互质

　　　3.欧拉函数是积性函数，若m,n互质，φ(mn)= φ(m)φ(n).

　　根据这3条性质我们就可以推出一个整数的欧拉函数的公式。因为一个数总可以写成一些质数的乘积的形式。

　　E(k)=(p1-1)(p2-1)...(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))...(pi^(ai-1))

　　　　= k*(p1-1)(p2-1)...(pi-1)/(p1*p2*...*pi)

　　　　= k*(1-1/p1)*(1-1/p2)...(1-1/pk)

特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n), 证明与上述类似。

若n为质数则φ(n)=n-1。

在程序中利用欧拉函数如下性质，可以快速求出欧拉函数的值（a为N的质因素）

　　若( N%a ==0&&(N/a)%a ==0)则有：E(N)= E(N/a)*a;

　　若( N%a ==0&&(N/a)%a !=0)则有：E(N)= E(N/a)*(a-1);

整合了网上欧拉函数解法的代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>

using namespace std;

int Eular(int x){
    int ans=1;
    for(int i=2;i*i<=x;i++){
        if(x%i==0){
            x/=i;
            ans*=(i-1);
            while(x%i==0){
                x/=i;
                ans*=i;
            }
        }
    }
    if(x>1)
        ans*=(x-1);
    return ans;
}

int main(){

    //freopen("input.txt","r",stdin);

    int t,n;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d",&n);
        printf("%d
",Eular(n));
    }
    return 0;
}

题意：求一个数约数为1的个数。

思路：裸裸的欧拉函数。

#include
#include
#include
using namespace std;
int eular(int n)
{
    int ans=n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            ans-=ans/i;
            while(n%i==0){
                n/=i;
            }
        }
    }
    if(n>1)
     ans-=ans/n;
    return ans;
}
int main()
{
    int t,n;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d",&n);
        printf("%d
",eular(n));
    }
    return 0;
}

还是用哈希表筛选法最简单暴力!

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<string.h>
int main()
{
    int a[32768];
    int i,j,t,n,m;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d",&n);
        memset(a,0,sizeof(a));
        m=n/2;//缩小范围，因为i从2开始，n整除尽的最后一个结果肯定为2，再大于商肯定小于2，就不满足n%2==0。（去掉这个小技巧，OJ上也AC了）
        for(i=2;i<=m;i++)      
            if(n%i==0)
                for(j=i;j<n;j+=i)
                    a[j]=1;
        int sum=0;
        for(i=1;i<n;i++)
            if(!a[i])
                sum++;
        printf("%d
",sum);
    }
    return 0;
}