一：欧几里得算法（辗转相除法）
基本算法：设a=qb+r，其中a，b，q，r都是整数，则gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。
证明：
a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数，则有
d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数
假设d 是(b,a mod b)的公约数，则
d | b , d |r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证
算法实现：
- int gcd(int a,int b) { //递归算法
- return b ? gcd(b, a%b) : a;
- }
- int Gcd(inta, int b) { //迭代算法
- while(b != 0) {
- int r = b;
- b = a%b;
- a = r;
- }
- return a;
- }
二 扩展欧几里得算法：
基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。
证明：设 a>b。
1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；
2，ab!=0 时
设 ax1+by1=gcd(a,b);
bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;
这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.
上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。
- //递归代码
- nt exgcd(int a, int b, int&x, int&y) {
- if (b == 0) {
- x = 1;
- y = 0;
- return a;
- }
- int r = exgcd(b, a%b, y, x);
- int t = x;
- y = y - a/b*t;
- return r;
- // 非递归算法
- nt exgcd(int m, int n, int &x, int &y) {
- int x1, y1, x0, y0;
- x0 = 1; y0 = 0;
- x1 = 0; y1 = 1;
- x = 0; y = 1;
- int r = m%n;
- int q = (m-r)/n;
- while(r) {
- x = x0 - q*x1;
- y = y0 - q*y1;
- x0 = x1; y0 = y1;
- x1 = x; y1 = y;
- m = n; n = r; r = m%n;
- q = (m-r)/n;
- }
- return n;
刘汝佳的：
- void gcd(int a, int b, int& d, int& x, int& y) {
- if (!b) {d = a; x = 1; y = 0; }
- else {gcd(b, a%b, d, y, x); y -= x*(a/b); }
- }
上面求出的 x（当a>b时）都是最接近0的正整数。（不知道为什么）
扩展欧几里德算法的应用主要有以下两个方面：
（1）求解不定方程；
（2）求解模线性方程（线性同余方程）与逆元；
（1）求解不定方程；
1.对于不定整数方程ax+by=m，若 m mod Gcd(a, b)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。
证明：
首先扩展欧几里德主要是用来与求解线性方程相关的问题，所以我们从一个线性方程开始分析。现在假设这个线性方程为a*x+b*y=m，如果这个线性方程有解，那么一定有gcd(a,b) | m，即a，b的最大公约数能够整除m(m%gcd(a,b)==0)。证明很简单，由于a%gcd(a,b)==b%gcd(a,b)==0，所以a*x+b*y肯定能够整除gcd(a,b)，如果线性方程成立，那么就可以用m代替a*x+b*y，从而得到上面的结论，利用上面的结论就可以用来判断一个线性方程是否有解。
2.ax+by=Gcd（a， b） 两边同时乘以 m/Gcd（a， b）得a（x*c/Gcd（a， b）)+b(y*c/Gcd（a， b）)=m;
上面已经列出找一个整数解的方法，在找到 a*x+ b*y = Gcd（a， b）的一组解x0,y0后，不定方程ax+by=m的一组解满足 x = m(x0)/gcd ， y = m*(y0)/gcd；
所以通解为 x = m*(x0)/gcd + k*lcm/a , y = m*(y0)/gcd + k*lcm/b (其中k为任意整数)；
证明：
令a1=a/gcd(a,b)，b1=b/gcd(a,b)，m1=m/gcd(a,b)。那么x，y的一组解就是x0*m1，y0*m1，但是由于满足方程的解无穷多个，在实际的解题中一般都会去求解x或是y的最小正数的值。以求x为例，又该如何求解呢？还是从方程入手，现在的x，y已经满足a*x+b*y=m，那么a*(x+n*b)+b*(y-n*a)=m显然也是成立的。可以得出x+n*b(n=…，-2，-1，0，1，2，…)就是方程的所有x解的集合，由于每一个x都肯定有一个y和其对应，所以在求解x的时候可以不考虑y的取值。取k使得x+k*b>0，x的最小正数值就应该是(x+k*b)%b，但是这个值真的是最小的吗？？如果我们将方程最有两边同时除以gcd(a,b)，则方程变为a1*x+b1*y=m1，同上面的分析可知，此时的最小值应该为(x+k*b1)%b1，由于b1<=b，所以这个值一定会小于等于之前的值。在实际的求解过程中一般都是用while(x<0)x+=b1来使得为正的条件满足，为了更快的退出循环，可以将b1改为b(b是b1的倍数)，并将b乘以一个倍数后再加到x上。
代码：
- //不定方程
- void linear_equation(int a, int b, int c, int &x, int &y) {
- int d = exgcd(a, b, x, y);
- if (c%d)
- return ;
- int k = c/d;
- x *= k; y *= k; // 一组解
- return ;
- }
相关题目：poj2115 poj2142 poj1061。
（2）求解模线性方程（线性同余方程）与逆元；
同余方程 ax≡b (mod n)对于未知数 x 有解，当且仅当 gcd(a,n) | b。且方程有解时，方程有 gcd(a,n) 个解。
求解方程 ax≡b (mod n) 相当于求解方程 ax+ （-ny）= b, (x, y为整数)。
算法导论上有两个定理：
定理一：设d = gcd(a, n), 假定对整数x', y', 有d = ax' + ny'， 如果d | b, 则方程ax = b(mod n)有一个解的值为x0, 满足：、
x0 = x'(b / d)(mod n）
定理二：假设方程ax = b(mod n)有解， x0是方程的任意一个解， 则方程对模n恰有d个不同的解， 分别为： xi = x0 + i * (n / d), 其中 i = 1,2,3......d - 1
有了这两个定理， 解方程就不难了。
代码：
- // 模线性方程
- bool modular_linear_equation(int a, int b, int n) {
- int x, y, x0, i;
- int d = exgcd(a, n, x, y);
- if (b%d)
- return false;
- x0 = x*(b/d)%n; //特解
- for(i = 0; i < d; i++)
- printf("%d ", (x0 + i*(n/d))%n);
- return true;
- }
相关题目 hdu1576.
同余方程ax≡b (mod n)，如果 gcd(a,n)== 1，则方程只有唯一解。
在这种情况下，如果 b== 1，同余方程就是 ax=1 (mod n ),gcd(a,n)= 1。
这时称求出的 x 为 a 的对模 n 乘法的逆元。
对于同余方程 ax= 1(mod n )， gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程
ax+ ny= 1，x, y 为整数。这个可用扩展欧几里德算法求出，原同余方程的唯一解就是用扩展欧几里德算法得出的 x 。
代码：
- ll inv(ll a, ll n) {
- ll d, x, y;
- d = exgcd(a, n, x, y);
- return (d == 1) ? (x%n + n)%n : -1;
- }
相关题目： hdu2115.