[ 题解 ] [ 数学 ] [ BZOJ3028 ] 食物 food ( 生成函数入门 )

BZOJ3028 食物

---

题面

链接

BZOJ

dark BZOJ

题目描述

明明这次又要出去旅游了，和上次不同的是，他这次要去宇宙探险！我们暂且不讨论他有多么 NC，他又幻想了他应该带一些什么东西。理所当然的，你当然要帮他计算携带 (N) 件物品的方案数。他这次又准备带一些受欢迎的食物，如：蜜桃多啦，鸡块啦，承德汉堡等等当然，他又有一些稀奇古怪的限制：每种食物的限制如下：

承德汉堡：偶数个
可乐：(0)个或(1)个
鸡腿：(0)个，(1)个或(2)个
蜜桃多：奇数个
鸡块：(4)的倍数个
包子：(0)个，(1)个，(2)个或(3)个
土豆片炒肉：不超过一个。
面包：(3)的倍数个

注意，这里我们懒得考虑明明对于带的食物该怎么搭配着吃，也认为每种食物都是以 个 为单位（反正是幻想嘛），只要总数加起来是 (N) 就算一种方案。因此，对于给出的 (N)，你需要计算出方案数，并对 (10007) 取模。

输入

输入一个数字 (N, 1 leq n leq 10^{500})

输出

如题

输入样例

5

输出样例

35

---

题解

生成函数入门题

推导

1. 承德汉堡 (f_1)

   承德汉堡：偶数个

   即为数列 (langle 0, 2, 4, 6, cdots angle) 的生成函数

   [ f_1(x) = sum_{n geq 0} x^{2n} ]

   求出其封闭形式

   [ egin{align} f_1(x) cdot x^2 + x^0 &= sum_{n geq 0} x^{2(n + 1)} + x^0 \ &= sum_{n geq 1} x^{2n} + x^0 \ &= f_1(x) end{align} ]
   [ herefore f_1(x) cdot (x^2 - 1) = -1 \ herefore f_1(x) = frac{1}{1 - x^2} ]

2. 可乐 (f_2)

   可乐：0个或1个

   即为数列 (langle 0, 1 angle) 的生成函数

   [ f_2(x) = sum_{n in {0, 1}} x^n ]

   其封闭形式为

   [ f_2(x) = x^0 + x^1 = 1 + x ]

3. 鸡腿 (f_3)

   鸡腿：0个，1个或2个

   同 2.可乐 理

   即为数列 (langle 0, 1, 2 angle) 的生成函数

   [ f_3(x) = 1 + x + x^2 ]

4. 蜜桃多 (f_4)

   蜜桃多：奇数个

   即为数列 (langle 1, 3, 5, 7 cdots angle) 的生成函数

   [ f_4(x) = sum_{n geq 0} x^{2n + 1} ]

   求出其封闭形式

   [ egin{align} f_4(x) cdot x^2 + x &= sum_{n geq 0} x^{2(n + 1) + 1} + x \ &= sum_{n geq 1} x^{2n + 1} + x \ &= f_4(x) end{align} ]
   [ herefore f_4(x) cdot (x^2 - 1) = -x \ herefore f_4(x) = frac{x}{1 - x^2} ]

5. 鸡块 (f_5)

   鸡块：4的倍数个

   即为数列 (langle 0, 4, 8, 12, cdots angle) 的生成函数

   [f_5(x) = sum_{n geq 0} x^{4n} ]

   求出其封闭形式

   [ egin{align} f_5(x) cdot x^4 + x^0 &= sum_{n geq 0} x^{4(n + 1)} + x^0 \ &= sum_{n geq 1} x^{4n} + x^0 \ &= f_5(x) end{align} ]
   [ herefore f_5(x) cdot (x^4 - 1) = -1 \ herefore f_5(x) = frac{1}{1 - x^4} ]

6. 包子 (f_6)

   包子：0个，1个，2个或3个

   同 2.可乐 理

   即为数列 (langle 0, 1, 2, 3 angle) 的生成函数

   [ f_6(x) = 1 + x + x^2 + x^3\ ]

   因式分解，得

   [ f_6(x) = (1 + x)(1 + x^2) ]

7. 土豆片炒肉 (f_7)

   土豆片炒肉：不超过一个。

   同 2.可乐

   [ f_7(x) = f_2(x) = 1 + x ]

8. 面包 (f_8)

   面包：3的倍数个

   [ f_8(x) = sum_{n geq 0} x^{3n} ]

   求其封闭形式

   [egin{align} f_8(x) cdot x^3 + x^0 &= sum_{n geq 0} x^{3(n + 1)} + x^0 \ &= sum_{n geq 1} x^{3n} + x^0 \ &= f_8(x) end{align} ]
   [ herefore f_8(x) cdot (x^3 - 1) = -1 \ herefore f_8(x) = frac{1}{1 - x^3} ]

综上

( f_1(x) = frac{1}{1 - x^2} \ f_2(x) = 1 + x \ f_3(x) = 1 + x + x^2 \ f_4(x) = frac{x}{1 - x^2} \ f_5(x) = frac{1}{1 - x^4} \ f_6(x) = (1 + x)(1 + x^2) \ f_7(x) = 1 + x \ f_8(x) = frac{1}{1 - x^3} \ )

乘积为

[ prod_{i=1}^8 f_i(x) = frac{1}{1 - x^2} cdot (1 + x) cdot (1 + x + x^2) cdot frac{x}{1 - x^2} cdot frac{1}{1 - x^4} cdot (1 + x)(1 + x^2) cdot (1 + x) cdot frac{1}{1 - x^3} ]

展开，得

[ prod_{i=1}^8 f_i(x) = frac{1}{(1 + x)(1 - x)} cdot (1 + x) cdot (1 + x + x^2) cdot frac{x}{(1 + x)(1 - x)} cdot frac{1}{(1 + x^2)(1 + x)(1 - x)} cdot (1 + x)(1 + x^2) cdot (1 + x) cdot frac{1}{(1 - x)(1 + x + x^2)} ]

化简，得

[ prod_{i=1}^8 f_i(x) = frac{x}{(1 - x)^4}\ = x(1 - x)^{-4} ]

由二项式定理

[ (x + y)^n = sum_{k = 0}^n inom{n}{k} x^{n - k}y^k ]

得：

[ x(1 - x)^{-4} = x sum_{i geq 0} inom{-4}{i}(-x)^i ]

第 (n) 项对应 (i = n - 1)，其系数即为：

[ inom{-4}{n - 1} (-1)^{n - 1} ]

反转上指标^[1]

[ inom{a}{b} = (-1)^b inom{b - a - 1}{b} (a < 0) ]

[ herefore inom{-4}{n - 1} (-1)^{n - 1} = inom{n + 2}{n - 1} = inom{n + 2}{3} = frac{n(n + 1)(n + 2)}{6} ]

即方案数为

[ frac{n(n + 1)(n + 2)}{6} ]

细节

1. 由于输入的 (n) 范围为 (10^{500}) 需要在输入时取模

   [ ecause overline{n_1 n_2 n_3 cdots n_{f - 1} n_f} = 10 overline{n_1 n_2 n_3 cdots n_{f - 1}} + n_f\ herefore overline{n_1 n_2 n_3 cdots n_{f - 1} n_f} = 10(10(cdots (10n_1 + n_2) cdots) + n_{f - 1}) + n_f \ herefore overline{n_1 n_2 n_3 cdots n_{f - 1} n_f} equiv (10((10((cdots (10n_1 + n_2) mod M cdots) mod M) + n_{f - 1}) mod M) + n_f) mod M (mod M) ]

   伪代码

   /*
       输入的数为 n
       n 的各位为 n[1 ... f]
       ans = n % MOD
   */
   
   Function Read()
       for i <- 1 to f do
           ans <- (ans * 10 + n[i]) % MOD
       end
   
       Return ans
   

2. 要求 (frac{n(n + 1)(n + 2) mod M}{6}) 需要用到费马小定理求出乘法逆元

   [ frac{n(n + 1)(n + 2) mod M}{6} = (n(n + 1)(n + 2) mod M) cdot (6^{M - 2} mod M) ]

   这里可以选择写带取模快速幂，也可以直接算出 (6^{M - 2} mod M)

   当 (M = 10007) 时：

   [ 6^{M - 2} mod M = 1668 ]

代码

C++

#include <iostream>
#include <cstdio>

const int MOD = 10007;

inline int read()
{
    char ch;
    int res = 0;

    ch = std::getchar();
    while (ch >= '0' and ch <= '9')
    {
        res = (res * 10 + ch - '0') % MOD;
        ch = std::getchar();
    }

    return res;
}

int main()
{
    int n;
    n = read();

    std::cout << ((n * (n + 1) % MOD) * (n + 2) % MOD) * 1668 % MOD;
    return 0;
}

Python3

MOD = 10007

n = int(input())
print(n * (n + 1) * (n + 2) * 1668 % MOD)

参考

BZOJ3028 食物

[BZOJ3028] [生成函数] 食物

[百度百科] 二项式定理

本题数据

---

1. [知乎] 当组合里出现负数怎么运算？ ↩︎