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  • 【级数】 求和

    证明 [sum_{n=0}^{infty}frac{(n!)^{2}2^{n+1}}{(2n+1)!}=pi] 

    分析:这道题初看具有难度运用幂级数恐难解决,由分子分母的特性易想到 $Gamma$函数然后利用$Gamma$函数与$eta$函数的关系即可。

    Proof: 

     egin{align*}sum_{n=0}^{infty}frac{(n!)^{2}2^{n+1}}{(2n+1)!}&=sum_{n=0}^{infty}int_{0}^{1}t^{n}(1-t)^{n}2^{n+1}dt\&=2int_{0}^{1}sum_{0}^{infty}t^{n}(1-t)^{n}2^{n}dt\&=int_{0}^{1}frac{1}{(t-frac{1}{2})^{2}+frac{1}{4}}dt\&=2 arctan2(t-frac{1}{2})|_{0}^{1}\&=piend{align*}  

    Remark:交换积分与极限的次序用到了 Levi 渐升定理。

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/zhangwenbiao/p/3705281.html
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