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  • (四)分数阶微积分


    我们重点考察$R-L$型分数阶微积分的性质,简记${}_{0}^{RL}D_{t}^{eta}=D_{t}^{eta}$,若无特殊说明。
    a). 线性性
    $$D_{t}^{eta}[f(t)+g(t)]=D_{t}^{eta}f(t)+D_{t}^{eta}g(t)$$
    $$D_{t}^{eta}lambda f(t)=lambda D_{t}^{eta}f(t) $$
    证明:直接带入定义验算即可.设$m=[eta]+1$
    $${}_{0}^{RL}D_{t}^{eta}f(t)=frac{1}{Gamma(m-eta)}frac{d^{m}}{dt^{m}}int_{0}^{t}(t- au)^{m-eta-1}f( au)d au$$
    b). 积分的叠加性
    $$D_{t}^{-alpha}D_{t}^{-eta}f(t)=D_{t}^{-alpha-eta}f(t) (alpha,eta>0)$$
    证明:对整数阶积分结论是显然的,对于分数阶R-L积分仍然具有叠加性。
    由定义知
    $${}_{0}D_{t}^{-eta}f(t)=frac{1}{Gamma(eta)}int_{0}^{t}(t-x)^{eta-1}f(x):=g(t)$$
    那么
    egin{eqnarray*}
    {}_{0}^{}D_{t}^{-alpha}g(t)&=&frac{1}{Gamma(alpha)}int_{0}^{t}(t- au)^{alpha-1}g( au) d au\
    &=&frac{1}{Gamma(alpha)Gamma(eta)}int_{0}^{t}(t- au)^{alpha-1}d au int_{0}^{ au}( au-x)^{eta-1}f(x)dx\
    &=&frac{1}{Gamma(alpha)Gamma(eta)}int_{0}^{t}f(x)dx int_{x}^{t}(t- au)^{alpha-1}( au-x)^{eta-1}d au(交换积分次序)\
    &=&frac{1}{Gamma(alpha)Gamma(eta)}int_{0}^{t}f(x)dxint_{0}^{1}(t-x)^{alpha+eta-1}(1-xi)^{alpha-1}xi ^{eta-1}dxi (Let xi=frac{ au-x}{t-x})\
    &=&frac{B(alpha,eta)}{Gamma(alpha)Gamma(eta)}int_{0}^{t}(t-x)^{alpha+eta-1}f(x)dx\
    &=&frac{1}{Gamma(alpha+eta)}int_{0}^{t}(t-x)^{alpha+eta-1}f(x)dx\
    &=&{}_{0}D_{t}^{-alpha-eta}f(t)
    end{eqnarray*}
    由此我们也得到了积分满足交换性,即
    $$D_{t}^{-alpha}D_{t}^{-eta}f(t)=D_{t}^{-alpha-eta}f(t)=D_{t}^{-eta}D_{t}^{-alpha}f(t) (alpha,eta>0)$$
    c). 上式考虑了积分叠加的情形,对于连续函数$f(t)$考虑混合运算“先积分再微分”.(还记得R-L定义思路$D^{eta}=D^{m}D^{-(m-eta)}$)
    $${}_{0}^{}D_{t}^{alpha}{}_{0}D_{t}^{-eta}f(t)={}_{0}^{}D_{t}^{alpha-eta}f(t) (alpha>0,eta>0)$$
    证明:先探讨一种特殊的情形
    $$D^{lambda}D^{-lambda}f(t)=f(t) (lambda>0)$$
    当$lambda$为整数时结论显然成立。不妨设$k-1 leq lambda<k$,即$k=[lambda]+1$.故由定义有
    $$D^{lambda}=D^{k}D^{-(k-lambda)}$$
    代入下式
    $$D^{lambda}D^{-lambda}=D^{k}D^{-(k-lambda)}D^{-lambda}=D^{k}D^{-k}=I (use b).)$$
    $ullet$若$alpha<eta$,记$m=[alpha]+1,n=[alpha-eta]+1$,则
    egin{eqnarray*}
    D^{alpha}D^{-eta}f(t)&=&D^{m}D^{-m-alpha}D^{-eta}f(t)
    &=&D^{m}D^{-(m-alpha+eta)}f(t)\
    &=&D^{m}D^{-m}D^{-(eta-alpha)}f(t)\
    &=&D^{alpha-eta}f(t)\
    end{eqnarray*}
    $ullet$若$alpha>eta$,则
    egin{eqnarray*}
    D^{alpha}D^{-eta}f(t)&=&D^{m}D^{-m-alpha}D^{-eta}f(t)\
    &=&D^{m}D^{-(m-alpha+eta)}f(t)\
    &=&D^{n}D^{m-n}D^{-(eta-alpha)}f(t)\
    &=&D^{n}D^{-[n-(alpha-eta)]}\
    &=&D^{alpha-eta}f(t)\
    end{eqnarray*}
    综上有
    $${}_{0}^{}D_{t}^{alpha}{}_{0}D_{t}^{-eta}f(t)={}_{0}^{}D_{t}^{alpha-eta}f(t) (alpha>0,eta>0)$$
    d). 我们前面讲了一般$D^{alpha}D^{-eta}f(t) eq D^{-eta}D^{-alpha}f(t)$,也就是说积分算子与微分算子的交换性并不总是成立的,在经典的微积分里同样要满足一些特定的条件。
    例如$f(x)equiv C$
    先微分再积分:
    $$D^{-1}Df(x)=0$$
    先积分再微分:
    $$DD^{-1}f(x)=C$$
    下面我们研究混合运算中的“先微分再积分”情形,即$D^{-eta}D^{alpha},(eta>0,alpha>0)$形式.
    首先,我们有结论:
    $$D^{-lambda}D^{lambda}f(t)=f(t)-sum_{j=1}^{m}frac{D^{lambda-j}f(0)}{Gamma(lambda-j+1)}t^{lambda-j}$$
    证明:回忆当$f(x,y)$满足连续性条件且可微时
    $$frac{d}{dx}int_{a}^{b}f(x,y)dy=int_{a}^{b}frac{partial f(x,y)}{partial x}dy$$
    $$frac{d}{dx}int_{alpha (x)}^{eta(x)}f(x,y)dy=f(x,eta(x))eta'(x)-f(x,alpha(x))alpha'(x)+int_{alpha(x)}^{eta(x)}frac{partial f(x,y)}{partial x}dy$$
    特殊地,
    $$frac{d}{dx}int_{0}^{x}f(x,y)dy=f(x,x)+int_{0}^{x}frac{partial f(x,y)}{partial x}dy$$
    设$g(t, au)=(t- au)^{lambda}D^{lambda}f( au)$, 则$g( au, au)=0$
    $$frac{partial g}{partial t}=lambda (t- au)^{lambda -1}D^{lambda}f( au)$$
    所以
    egin{eqnarray*}
    D^{-lambda}D^{lambda}f(t)&=&frac{1}{Gamma(lambda)}int_{0}^{t}(t- au)^{lambda-1}D^{lambda}f( au)d au\
    &=&frac{1}{Gamma(lambda+1)}frac{d}{dt}int_{0}^{t}(t- au)^{lambda}D^{lambda}f( au)d au\
    end{eqnarray*}
    注意上式中不能轻易使用分部积分法,因为尚未验证分数阶微分是否具有叠加性。
    不妨设$m-1 leq lambda <m$,即$m=[lambda]+1$,由定义和$ c).$知
    egin{eqnarray*}
    frac{1}{Gamma(lambda+1)}int_{0}^{t}(t- au)^{lambda}D^{lambda}f( au)d au&=&
    frac{1}{Gamma(lambda+1)}int_{0}^{t}(t- au)^{lambda}D^{m}D^{-(m-lambda)}f( au)d au\
    &=&frac{1}{Gamma(lambda+1)}int_{0}^{t}(t- au)^{lambda}dD^{m-1}D^{-(m-lambda)}f( au)\
    &=&frac{D^{lambda-1}f( au)}{Gamma(lambda+1)}(t- au)^{lambda}|_{0}^{t}
    +frac{1}{Gamma(lambda)}int_{0}^{t}(t- au)^{lambda-1}D^{lambda-1}f( au)d au\
    &=&frac{1}{Gamma(lambda)}int_{0}^{t}(t- au)^{lambda-1}D^{lambda-1}f( au)d au-frac{D^{lambda-1 }f(0)}{Gamma(lambda+1)}t^{lambda}\
    &=&frac{1}{Gamma(lambda-1)}int_{0}^{t}(t- au)^{lambda-2}D^{lambda-2}f( au)d au-frac{D^{lambda -2}f(0)}{Gamma(lambda)}t^{lambda-1}-frac{D^{lambda-1}f(0)}{Gamma(lambda+1)}t^{lambda}\
    &=&cdots cdots cdots \
    &=&frac{1}{Gamma(lambda-m+1)}int_{0}^{t}(t- au)^{lambda-m}D^{-m-lambda}f( au)d au-sum_{j=1}^{m}frac{D^{lambda-j}f(0)}{Gamma(lambda-j+2)}t^{lambda-j+1}\
    &=&D^{-(lambda-m+1)}D^{-(m-lambda)}f(t)-sum_{j=1}^{m}frac{D^{lambda-j}f(0)}{Gamma(lambda-j+2)}t^{lambda-j+1}\
    &=&D_{t}^{-1}f(t)-sum_{j=1}^{m}frac{D^{lambda-j}f(0)}{Gamma(lambda-j+2)}t^{lambda-j+1}\
    end{eqnarray*}

    egin{eqnarray*}
    D^{-lambda}D^{lambda}f(t)&=&frac{d}{dt}[D_{t}^{-1}f(t)-sum_{j=1}^{m}frac{D^{lambda-j}f(0)}{Gamma(lambda-j+2)}t^{lambda-j+1}]\
    &=&f(t)-sum_{j=1}^{m}frac{D^{lambda-j}f(0)}{Gamma(lambda-j+1)}t^{lambda-j}\
    end{eqnarray*}
    下面我们考虑$D^{-eta}D^{alpha},(eta>0,alpha>0)$形式.
    $ullet$若$eta leq alpha ,$则
    egin{eqnarray*}
    D^{-eta}D^{alpha}f(t)&=&D^{alpha-eta}D^{-(alpha-eta)}D^{-eta}D^{alpha}f(t)\
    &=&D^{alpha-eta}D^{-alpha}D^{alpha}f(t) (use b). )\
    &=&D^{alpha-eta}[f(t)-sum_{j=1}^{m}frac{D^{alpha-j}f(0)}{Gamma(alpha-j+1)}t^{alpha-j}]\
    &=&D^{alpha-eta}f(t)-sum_{j=1}^{m}frac{D^{alpha-j}f(0)}{Gamma(alpha-j+1)}D^{alpha-eta}t^{alpha-j}\
    &=&D^{alpha-eta}f(t)-sum_{j=1}^{m}frac{D^{lambda-j}f(0)}{Gamma(eta-j+1)}t^{eta-j}\
    end{eqnarray*}
    $ullet$若$eta>alpha$,则
    egin{eqnarray*}
    D^{-eta}D^{alpha}f(t)&=&D^{-(eta-alpha)}D^{-alpha}D^{alpha}f(t)\
    &=&D^{-(eta-alpha)}[f(t)-sum_{j=1}^{m}frac{D^{alpha-j}f(0)}{Gamma(alpha-j+1)}t^{alpha-j}]\
    &=&D^{alpha-eta}f(t)-sum_{j=1}^{m}frac{D^{alpha-j}f(0)}{Gamma(alpha-j+1)}D^{-(eta-alpha)}t^{alpha-j}\
    &=&D^{alpha-eta}f(t)-sum_{j=1}^{m}frac{D^{lambda-j}f(0)}{Gamma(eta-j+1)}t^{eta-j}\
    end{eqnarray*}
    总而言之
    $$D^{-eta}D^{alpha}f(t)=D^{alpha-eta}f(t)-sum_{j=1}^{m}frac{D^{alpha-j}f(0)}{Gamma(eta-j+1)}t^{eta-j}$$
    e). 前面我们讨论了积分叠加的情形和“先积分再求导”和“先求导再积分”的情形,现在我们考虑微分是否具有叠加性,即
    $$D^{eta}D^{alpha}f(t)=D^{eta+alpha}f(t) (alpha>0,eta>0) ( extbf{?})$$
    一般结论并不是总成立的,例如$f(t)=1$,则有
    $$D^{eta}Df(t)=0$$
    $$DD^{eta}f(t)=Dfrac{t^{-eta}}{Gamma(1-eta)}=-eta frac{t^{-eta-1}}{Gamma(1-eta)} eq 0$$
    设$n-1leq eta <n$即$n=[eta]+1$利用$ d). $ 可得
    $$D^{eta}D^{alpha}=D^{n}D^{-(n-eta)}D^{a}=D^{n}[D^{alpha+eta-n}f(t)-sum_{j=1}^{m}frac{D^{alpha-j}f(0)}{Gamma(n-eta-j+1)}t^{n-eta-j}]$$
    f ). 回忆
    二项式定理
    $$(f(x)+g(x))^{n}=C_{n}^{k}f^{n-k}(x)g^{k}(x)$$
    Leibnitz公式
    $$(f(x)g(x))^{(n)}=C_{n}^{k}f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x)$$
    分数阶R-L积分的Leibniz公式为
    $$D^{- u}[f(x)+g(x)]=sum_{k=0}^{infty}C_{- u}^{k}D^{k}g(x)D^{- u-k}f(x)$$
    证明:根据定义有
    $$D^{- u}f(x)g(x)=frac{1}{Gamma( u)}int_{0}^{x}(x- au)^{ u-1}f( au)g( au)d au$$
    将$g( au)$在$ au=x$处展成$Taloy$公式
    $$g( au)=g(x)+sum_{k=1}^{infty}frac{D^{k}g(x)}{k!}( au-x)^k$$
    代入定义式得
    egin{eqnarray*}
    D^{- u}f(x)g(x)&=&frac{1}{Gamma( u)}g(x)int_{0}^{x}(x- au)^{ u-1}f( au)d au+
    sum_{k=1}^{infty}frac{D^{k}g(x)}{k!}frac{(-1)^{k}}{Gamma( u)}int_{0}^{x}(x- au)^{k+ u-1}f( au)d au \
    &=&g(x)D^{- u}f(x)+sum_{k=1}^{infty}C_{- u}^{k}D^{k}g(x)D^{- u-k}f(x)\
    &=&sum_{k=0}^{infty}C_{- u}^{k}D^{k}g(x)D^{- u-k}f(x)
    end{eqnarray*}
    其中$$C_{- u}^{k}=frac{(-1)^kGamma(k+ u)}{k!Gamma( u)}$$.
    再根据分数阶导数定义可得到分数阶导数的Leibniz公式
    egin{eqnarray*}
    D^{ u}f(x)g(x)&=&D^{m}D^{-(m- u)}f(x)g(x)\
    &=&D^{m}[sum_{k=0}^{infty}C_{ u-m}^{k}D^{k}g(x)D^{ u-m-k}f(x)]
    end{eqnarray*}
    g ). R-L型分数阶导数与Caputo型导数的关系
    一般两者并不相同,但在下面定理的条件下两者等价。
    定理:若$f(t)$具有$m$阶连续导($m=[eta]+1$),且$f^{k}(a)=0 (k=0,1,2,cdots,m-1)$,则有
    $$_{a}^{RL}D_{t}^{eta}f(t)=_{a}^{C}D_{t}^{eta}f(t)$$
    证明:反复利用分部积分可得
    egin{eqnarray*}
    {}_{a}^{C}D_{t}^{eta}f(t)&=&frac{1}{Gamma(m-eta)}int_{a}^{t}(t- au)^{m-eta-1}f^{(m)}( au)d au\
    &=&frac{(m-eta-1)(m-eta-2)cdots (-eta)}{Gamma(m-eta)}int_{a}^{t}(t- au)^{-eta-1}f( au)d au\
    end{eqnarray*}
    另一方面反复利用
    $$frac{d}{dt}int_{a}^{t}f(t, au)d au=f(t,t)+int_{a}^{t}frac{partial f}{partial x}$$
    egin{eqnarray*}
    {}_{a}^{RL}D_{t}^{eta}f(t)&=&frac{1}{Gamma(m-eta)}frac{d^{m}}{dt^{m}}int_{a}^{t}(t- au)^{m-eta-1}f( au)d au\
    &=&frac{1}{Gamma(m-eta)}frac{d^{m-1}}{dt^{m-1}}frac{d}{dt}int_{a}^{t}(t- au)^{m-eta-1}f( au)d au\
    &=&frac{m-eta-1}{Gamma(m-eta)}frac{d^{m-1}}{dt^{m-1}}int_{a}^{t}(t- au)^{m-eta-2}f( au)d au\
    &=&cdots cdots cdots \
    &=&frac{(m-eta-1)(m-eta-2)cdots (-eta)}{Gamma(m-eta)}int_{a}^{t}(t- au)^{-eta-1}f( au)d au\
    end{eqnarray*}
    所以此时
    $${}_{a}^{RL}D_{t}^{eta}f(t)={}_{a}^{C}D_{t}^{eta}f(t)$$

    h ).分数阶导数与整数阶导数的关系
    评注:分数阶导数是整数阶导数的推广,然而这种推广并不是唯一的,历史上出现了多种版本的分数阶导数,例如$R_L$ 型、$Caputo$型、$Resiz$ 型等各个版本计算结果都不尽相同,都有独立的应用,$Mill$ 和$Ross$ 在此基础上提出了序列微积分的概念在形式上统一了分数阶微积分。
    i). 序列分数阶导数实际上是基于观察所得出的定义,对整数阶的导数有
    $$D^{n}f(t)=DDD cdots Df(t)$$
    推广到更一般的形式
    $$D^{a}f(t)=D^{alpha_{1}}D^{alpha_{2}}cdots D^{alpha_{n}}f(t)$$
    其中$alpha=alpha_{1}+alpha_{2}+ cdots + alpha_{n}$.
    从上面的形式可以看到分解并不是唯一的
    当分解形式是
    $$ D^{alpha}=D^{n}D^{-(n-alpha)}$$
    为$Riemann-Liouville$型分数阶导数.
    当分解形式是
    $$ D^{alpha}=D^{-(n-p)}D^{n}$$
    为$Caputo$型分数阶导数.


    j ). Remark: 利用卷积工具可推广到广义函数的分数阶导数,经典分析理论到近代分析跨越.

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