1. 设常数$a_{1},a_{2},cdots,a_{n}$满足$a_{1}+a_{2}+cdots+a_{n}=0$，求证:
$$lim_{x o infty}sum_{k=1}^{n}a_{k}sin sqrt{x+k}$$
Proof. 首先易证结论
$$lim_{x o infty}sin sqrt{x+k}-sin sqrt{x+n}=0$$
将 $a_{n}=-a_{1}-a_{2}-cdots-a_{n-1}$ 代入 $sum_{k=1}^{n}a_{k}sin sqrt{x+k}$得
$$lim_{x o infty}sum_{k=1}^{n}a_{k}sin sqrt{x+k}=lim_{x o infty}sum_{k=1}^{n-1}a_{k}(sin sqrt{x+k}-sin sqrt{x+n})=0$$
证毕.
2. 如果对任意 $xin (-1,1)$ 有 $|sum_{k=1}^{n}a_{k}sin kx| leq |sin x|$，求证：
$$|sum_{k=1}^{n}k a_{k}| leq 1$$
Proof：我们用数学归纳法来证明。
(i). 当$n=1$时，易证明结论成立。
(ii). 不妨设$n$情形命题成立，来推导$n+1$情形,若
$$|sum_{k=1}^{n+1}a_{k}sin kx|=|sum_{k=1}^{n}a_{k}sin kx +a_{n+1}sin nxcos x+a_{n+1}cos nx sin x|leq |sin x|$$
由三角不等式知
$$|sum_{k=1}^{n-1}a_{k}sin kx+(a_{n}+a_{n+1}cos x)sin nx|leq (1+|a_{n+1}cos nx|)|sin x|$$
即
$$sum_{k=1}^{n-1}frac{a_{k}}{1+|a_{n+1}cos nx|}sin kx+frac{a_{n}+a_{n+1}cos x}{1+|a_{n+1}cos x|}sin nx|leq |sin x|$$
由归纳法知
$$sum_{k=1}^{n-1}frac{k a_{k}}{1+|a_{n+1}cos nx|}+frac{n(a_{n}+a_{n+1})cos x}{1+|a_{n+1}cos x|}|leq 1$$
从而
$$|sum_{k=1}^{n-1}k a_{k}+n a_{n}+n a_{n+1}cos x|leq 1+|a_{n+1}cos nx|$$
由三角不等式得
$$|sum_{k=1}^{n+1}k a_{k}|leq 1+|a_{n+1}cos nx|-|ncos x-(n+1)||a_{n+1}|$$
令$x=0$，得到
$$|sum_{k=1}^{n+1}k a_{k}|leq 1$$
3.对任意的正整数$n$，证明：当$xin (0,pi)$时，恒有
$$sum_{k=1}^{n}frac{sin kx}{k}>0$$
