求$f(x)=frac{x^{1+x}}{(1+x)^{x}}(x>0)$的斜渐近线
(i).斜渐近线系数
$$a=lim_{x oinfty}frac{f(x)}{x}=lim_{x oinfty}left(1-frac{1}{x+1} ight)^{x}=e^{-1}$$
(ii)$$b=lim_{x oinfty}f(x)-ax=lim_{x oinfty}frac{x}{e}left(e^{1+xln frac{x}{1+x}}-1 ight)=lim_{x oinfty}frac{x}{e}left(1+xln frac{x}{1+x} ight)$$
求此极限有两种方法。
方法一：利用 Peano型的Taloy公式有
$$ln frac{x}{x+1}=lnleft(1-frac{1}{x+1} ight)=-frac{1}{x+1}-frac{1}{(x+1)^{2}}+oleft(frac{1}{(x+1)^{2}} ight),x o infty$$
代入上式即可得$b=2e^{-1}$.
方法二： 利用L'Hospital法则
$$lim_{x oinfty}frac{x}{e}left(1+xln frac{x}{1+x} ight)=lim_{x oinfty}frac{1}{e}frac{1+x(ln x-ln (1+x))}{1/x}=lim_{x oinfty}frac{1}{2e}frac{frac{1}{x(x+1)^{2}}}{x^{-3}}=2e^{-1}$$
注意：(1) 应用L'Hospital法则时，要验证是否满足条件。
(2) 此处不宜使用倒代换$t=frac{1}{x}$，因为倒代换之后无法继续使用L'Hospital法则。