一（30分）.1.计算极限$$lim_{n
ightarrowinfty}sum_{k=n^2}^{(n+1)^2}frac1{sqrt k}.$$
2.计算极限$$lim_{n
ightarrowinfty}frac{int_0^mathrmpisin^nxcos^6xoperatorname dx}{int_0^mathrmpisin^nxoperatorname dx}$$
3.已知$x_{n+1}=lnleft(1+x_n
ight)$,且$x_1>0$,计算$$lim_{n
ightarrowinfty}nx_n$$
二.设$f(x),f_1(x)$在$[a,b]$区间上连续，$f_{n+1}(x)=f(x)+int_a^xsin{f_n(t)}operatorname dt$,证明：${f_n}$在$[a,b]$一致收敛.
三.设$$f(x)=left{egin{array}{lc}e^{-frac1{x^2}}&,;x
eq0\0&,;x=0end{array}
ight.$$证明$f(x)$在$x=0$处任意阶导数存在.
四.已知$(x_1,x_2,x_3)in{R}^3$,其中$u=frac1{left|x
ight|},left|x
ight|=sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$，计算
$$ointlimits_Sfrac{partial^2 u}{partial x_ipartial x_j}{
m d}S，i，j=1,2,3$$,其中$S:x_1^2+x_2^2+x_3^2=R^2$
五.讨论求解方程$f(x)$牛顿切线法.1.推导牛顿切线法迭代公式；
2.在适当的条件下，证明牛顿切线法收敛
六（20分）.求极限$$lim_{n
ightarrowinfty}(nA-sum_{k=1}^nf(frac kn))=B$$存在时，$A,B$的值。
七.设$u_i=u_i(x_1,x_2),i=1,2$,且关于每个变量为周期1的连续可微函数，求$$iintlimits_{0leq x_1,x_2leq1}det(delta_{ij}+frac{partial u_i}{partial x_j})dx_1dx_2,$$其中$det(delta_{ij}+frac{partial u_i}{partial x_j})$是映射$xmapsto(x_1+u_1,x_2+u_2)$的雅克比行列式.
八（40分）.设$f(x)$在$[a,b]$上$Riemann$可积，$varphi(x)$是周期为$T$的连续函数,证明：
1.存在阶梯函数$g_varepsilon(x)$使得$$int_a^bleft|f(x)-g_varepsilon(x)
ight|operatorname dx<fracvarepsilon2$$
2.计算$$lim_{n
ightarrowinfty}int_a^bvarphi(nx)operatorname dx$$
3.证明$$lim_{n
ightarrowinfty}int_a^bf(x)varphi(nx)operatorname dx=frac1Tint_0^Tvarphi(x)operatorname dxint_a^bf(x)operatorname dx$$
4.计算$$lim_{n
ightarrowinfty}frac1{ln n}int_0^Tfrac{varphi(nx)}xdx,其中函数frac{varphi(nx)}x收敛$$
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