摘抄整理自《数字信号处理》第二版，吴镇扬，高等教育出版社12页，1.2节离散时间信号的傅里叶变换与z变换。
像模拟信号一样，离散时间信号或数字信号序列（这里用词相当严谨，数字信号序列取值上是离散的而离散时间信号则不一定）也存在着傅里叶变换，通常称为离散时间信号的傅里叶变换，即DTFT（Discrete-Time Fourier Transform）。序列x(n)的DTFT定义为
$X({e^{jw}}) = sumlimits_{n = - infty }^infty {x(n){e^{ - jwn}}} $ （1.9）
式中w为数字角频率，它是频率f对采样频率fs作归一化后的角频率
$w = frac{{2pi f}}{{{f_s}}}$
显然X(e^jw)是w的连续函数，并且是以2π为周期的。（1.9）式的级数不一定总是收敛的，例如x(n)为单位阶跃序列，级数就不收敛。（1.9）式收敛的充分条件为：
$sumlimits_{n = - infty }^infty {left| {x(n){e^{ - jwn}}} ight|} = sumlimits_{n = - infty }^infty {left| {x(n)} ight|} < infty $
即x(n)绝对可和，则它的DTFT一定存在。同时，也可以推断，有限长序列总是满足绝对可和条件的，其DTFT也总是存在的。
用e^jwn乘以（1.9）式的两边，并在w的一个周期内积分，可得
$egin{array}{c}
intlimits_{ - pi }^pi {X({e^{jw}}){e^{jwm}}dw} = intlimits_{ - pi }^pi {left[ {sumlimits_{n = - infty }^infty {x(n){e^{ - jwn}}} }
ight]} {e^{jwm}}dw\
= sumlimits_{n = - infty }^infty {x(n)intlimits_{ - pi }^pi {{e^{jw(m - n)}}} dw} \
= 2pi sumlimits_{n = - infty }^infty {x(n)delta (m - n)}
end{array}$
注释：上式中，m和n是表示序列的位置，取值离散，即m要么等于n，要么为不等于n的其他整数，在这个前提下，积分结果可分情况讨论得出。注意到这里δ(m-n)是单位序列（离散）而不是冲激函数（连续）。
即
$x(n) = frac{1}{{2pi }}intlimits_{ - pi }^pi {X({e^{jw}}){e^{jwn}}dw} $
这就是离散时间信号的逆傅里叶变换（IDTFT）的公式。