跟锦数学题选
有些是网友问的 ''难题'', 有些是网友发在群里的问题. 欢迎投稿, 图片或 均可. 公众号发布后留下您的大名, 给出链接. 当然, 你如果有问题, 也在’’跟锦数学’’群中问 (跟锦数学微信公众号 菜单 微信群).
跟锦数学微信公众号 Problem 0001.
设 为正项级数, 如果存在正数 和 , 使得 证明:
(1) 单调递减于 , 且 .
(2) 级数 且
跟锦数学微信公众号 Problem 0002.
[2019年山东省大学生数学竞赛第二次选拔赛]
已知
(1) 证明 在 上连续.
(2) 证明反常积分 绝对收敛.
(3) 证明反常积分 发散.
跟锦数学微信公众号 Problem 0003.
计算
其中 是锥面 被平面 所截部分的外侧.
跟锦数学微信公众号 Problem 0004.
[华中科技大学2019年高等代数考研试题2] 已知矩阵 , 其中 的每个元素都是整数. (1) 如果整数 是矩阵 的特征值, 试证明 . (2) 如果对于任意的 都有 , 那么 是 的特征值.
跟锦数学微信公众号 Problem 0005.
设 为 阶实对称矩阵, 且 的特征值的绝对值均大于 . 试证: 的特征值的模长大于 .
跟锦数学微信公众号 Problem 0006.
设 为 Banach 空间, , 有限个 , 使 ( 与 有关), . 又设 为 之连续映射, 且 及 , 使当 时, . 试证: 在 中有唯一的不动点.
跟锦数学微信公众号 Problem 0007.
[第二届全国大学生数学竞赛预赛8] 已知 是严格单调下降的连续函数, 满足 , 且
其中 表示 的反函数. 求证:
跟锦数学微信公众号 Problem 0008.
设 . 试证:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) .
跟锦数学微信公众号 Problem 0009.
设 , 试求 .
跟锦数学微信公众号 Problem 0010.
试求定积分 .
跟锦数学微信公众号 Problem 0011.
设 . 试证: (1) ; (2) ; (3) 求 (2) 中 的最小值.
跟锦数学微信公众号 Problem 0012.
试求定积分 .
跟锦数学微信公众号 Problem 0013.
试证:
跟锦数学微信公众号 Problem 0014.
设 存在, 是否存在 , 使得 在 上连续?
跟锦数学微信公众号 Problem 0015.
[上海交通大学2014年数学分析考研试题3(2)] 设函数 满足 . 试证: 存在严格递增的数列 , 使得 .
跟锦数学微信公众号 Problem 0016.
设 为 阶方阵, . 试证: 的充要条件是存在可逆矩阵 , 使得
跟锦数学微信公众号 Problem 0017.
设 . 试将 分解成三个矩阵相乘的形式, 即 B,DA,bC$ 可逆. 若不能分解, 请说明理由.
跟锦数学微信公众号 Problem 0018.
设 . 若 , 证明: 有 重根.
跟锦数学微信公众号 Problem 0019.
.
跟锦数学微信公众号 Problem 0020.
设 关于 和 连续, 且如果 为 上的紧集, 则 是 上的紧集. 试证: 是 上的连续函数.
跟锦数学微信公众号 Problem 0021.
[华中师范大学2011年数学分析考研试题4, 答王科强] 设 , 试问:
(1) 在 附近是否满足 ;
(2) 在 附近是否存在过点 的唯一连续可微的函数 , 使得 , 若存在, 求出 和 .
跟锦数学微信公众号 Problem 0022.
设 , , . 证明: 当 时函数列 在 上一致收敛于 ; 当 时, 在 上一致收敛.
跟锦数学微信公众号 Problem 0023.
设 为奇数阶的实矩阵, 且 , 试证: 有公共的实特征向量.